Çözüldü 1^∞ Belirsizliğinde (YKS 2022'de yok) Cebirsel Çözüm - Logaritmik Türev

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/limit28.png
https://www.facebook.com/photo?fbid=1343943229445666&set=g.1174585619345646 (Test çözümü ve formülü)

Bu çözüm sadece klasik sınavlarda gerekebilir:

A = [ (2x^2 + x) / (2x^2 + 1) ]^(3x - 1)
ln(A) = ln{ [ (2x^2 + x) / (2x^2 + 1) ]^(3x - 1) }
lim (x → ∞) ln(A) = lim (x → ∞) (3x - 1)·ln{ [ (2x^2 + x) / (2x^2 + 1) ] } ==> 0·∞ belirsizliği
lim (x → ∞) ln(A) = lim (x → ∞) ln{ [ (2x^2 + x) / (2x^2 + 1) ] } / [ 1 / (3x - 1) ] ==> 0 / 0 belirsizliği olduğundan L'Hospital Kuralı uygulanabilir ve kolaylaştırma amacıyla logaritmik terim açılırsa;
ln[ lim (x → ∞) A ] = lim (x → ∞) [ ln(2x^2 + x) - ln(2x^2 + 1) ] / [ 1 / (3x - 1) ]
ln[ lim (x → ∞) A ] = lim (x → ∞) [ (4x + 1) / (2x^2 + x) - 4x / (2x^2 + 1) ] / { -3 / [ (3x - 1)^2 ] }
ln[ lim (x → ∞) A ] = (-1 / 3)·lim (x → ∞) [ (4x + 1)(2x^2 + x) - 4x(2x^2 + x) ]·[ (3x - 1)^2 ] / [ (2x^2 + x)·(2x^2 + 1) ]
ln[ lim (x → ∞) A ] = (-1 / 3)·lim (x → ∞) (-2x^2 + 4x + 1)(9x^2 - 6x + 1) / [ (2x^2 + x)·(2x^2 + 1) ]
ln[ lim (x → ∞) A ] = (-1 / 3)·lim (x → ∞) (-18x^4 + ...) / (4x^4 + ...)
ln[ lim (x → ∞) A ] = (-1 / 3)·(-9 / 2) = 3 / 2
lim (x → ∞) A = e^(3 / 2)
lim (x → ∞) [ (2x^2 + x) / (2x^2 + 1) ]^(3x - 1) = √(e^3)
lim (x → ∞)[ 1 + (x - 1) / (2x^2 + 1) ]^(3x - 1) = e·√e.