Çözüldü 1. Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem - Bernoulli Diferansiyel Denklemi (3 Soru)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/3soru10.jpg

Soru - 1:
Verilen iki terimli çözümden türev fonksiyonları;
y' = C1·(e^x) + 2C2·[ e^(2x) ]
y'' = C1·(e^x) + 4C2·[ e^(2x) ]
y''' = C1·(e^x) + 8C2·[ e^(2x) ]
olarak diferansiyel denklemdeki yerlerine yazılırlarsa;
C1·(e^x) + 8C2·[ e^(2x) ]- 6·{ C1·(e^x) + 4C2·[ e^(2x) ] } + 11·{ C1·(e^x) + 2C2·[ e^(2x) ] } - 6·{ C1·(e^x) + C2·[ e^(2x) ] } =
(C1 - 6C1 + 11 C1 - 6C1)·(e^x) + (8C2 - 24C2 + 22C2 - 6C2)·[ e^(2x) ] =
0·(e^x) + 0·[ e^(2x) ] =
0 + 0 = 0 olduğundan denklemin bir özel çözümüdür ve genel çözümü değildir.

Not:
Türev operatörü d / dx = r olmak üzere karakteristik denklem: r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = 0 yazılarak köklerden ikisi 1 ve 2 olarak verildiğinden (r - 1)(r - 2) = r^2 - 3r + 2 ile basitçe klasik polinom bölmesiyle üçüncü çarpan r - 3 bulunur ve tam genel çözüm;
y = C1·(e^x) + C2·[ e^(2x) ] + C3·[ e^(3x) ] olur.
---
Soru - 2
{ [ 3(x^2)·y + 1 ] / y }dx = (x / y^2)dy denklemi düzenlenirse;
[ 3(x^2)·y + 1 ]dx = (x / y)dy
3(x^2)·y + 1 = (x / y)(dy / dx)
(y / x)[ 3(x^2)·y + 1 ] = dy / dx
dy / dx - y / x = (3x)·y^2 Bernoulli Denklemi haline gelir ve tüm terimler y^2 ile bölünerek;
[ y^(-2) ](dy / dx) - [ y^(-1) ] / x = 3x denkleminde u = y^(-1) ⇒ -du / dx = [ y^(-2) ](dy / dx) değişken dönüşümüyle;
-du / dx - u / x = 3x
du / dx + u / x = -3x şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme dönüşerek x değişkenine bağlı iki fonksiyon k ve v olmak üzere,
u = k·v ⇒ du / dx = k(dv / dx) + v(dk / dx) dönüşümüyle;
k(dv / dx) + v(dk / dx) + k·v / x = -3x
k(dv / dx + v / x) + v(dk / dx) = -3x
dv / dx + v / x = 0 olmasını sağlayan v(x) fonksiyonu integral alınarak v = 1 / x bulunduktan sonra ilgili şartla veraber yukarıdaki denklemde kullanılıp;
k·0 + (1 / x)(dk / dx) = -3x
dk = -3(x^2)dx ⇒ k = -x^3 + C olduğundan u = (-x^3 + C)(1 / x) = (-x^3 + C) / x ve y değişkenine geri dönüşle;
(-x^3 + C) / x = y^(-1)
y(x) = x / (C - x^3) genel çözümü bulunarak y(2) = 1 başlangıç değerine göre;
y(2) = 1 = 2 / (C - 2^3) ⇒ C = 2 + 8 = 10 ve böylece özel çözüm de y(x) = x / (10 - x^3) olur.

Not:
WolframAlpha denklemin ilk halini çözemiyor (kendilerine bildirdim):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3(x^2)y+1)dx / y = (x / y^2)dy, y(2)=1

ve nedense ancak ilk sadeleştirmeden sonra anlayıp çözebiliyor:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3(x^2)y+1) = (x / y)dy / dx, y(2)=1
---
Soru - 3
dy / dx + y / x = { [ ln(x) ] / x }·y^2 Bernoulli Diferansiyel denklemi olduğundan yine terimler y^2 ile bölünür:
[ y^(-2) ](dy / dx) + [ y^(-1) ] / x = [ ln(x) ] / x ve bu denklemde u = y^(-1) ⇒ -du / dx = [ y^(-2) ](dy / dx) değişken dönüşümüyle düzenleme yapılırsa;
du / dx - u / x = -[ ln(x) ] / x şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme dönüşerek x değişkenine bağlı iki fonksiyon k ve v olmak üzere,
u = k·v ⇒ du / dx = k(dv / dx) + v(dk / dx) dönüşümüyle;
k(dv / dx) + v(dk / dx) - k·v / x = -[ ln(x) ] / x
k(dv / dx - v / x) + v(dk / dx) = -[ ln(x) ] / x
dv / dx - v / x = 0 olmasını sağlayan v(x) fonksiyonu integral alınarak v = x bulunduktan sonra ilgili şartla veraber yukarıdaki denklemde kullanılıp;
k·0 + x(dk / dx) = -[ ln(x) ] / x
dk = -[ ln(x) ]dx / (x^2)
k = -∫ [ ln(x) ]dx / (x^2) + C1 fonksiyonundaki integral kısmi integrasyonla u1 = ln(x) ve dv1 = dx / (x^2) alınıp çözülürse (bu ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
k = [ ln(x) + 1 ] / x + C1 olduğundan u = { [ ln(x) + 1 ] / x + C1 }·x = ln(x) + 1 + C1·x = y^(-1) yazılıp y değişken,ine geri dönülerek tam genel çözüm;
y = 1 / [ C1·x + ln(x) + 1 ] bulunur.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x(y')+y=(y^2)log(x)