Çözüldü 2. Mertebe Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem-Laplace Dönüşümüyle Başlangıç Değer Problemi

Brown University'den:


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/brown12.png
http://www.math.brown.edu/swatson2/classes/math0190/pdf/practicefinalsol.pdf
(Sayfa 3, Soru 3)

Laplace Dönüşümüyle Çözüm:
t düzlemine geçilerek,
ℒ{ f ''(t) + 2f(t) } = ℒ{ 2f '(t) + e^t }
(s^2)·F(s) - s·f(0) - f '(0) + 2·F(s) = 2·[ s·F(s) - f(0) ] + [ 1 / (s - 1) ]
(s^2)·F(s) - s·3 - 6 + 2·F(s) = 2·s·F(s) - 2·3 + [ 1 / (s - 1) ]
(s^2)·F(s) - 3·s - 6 + 2·F(s) - 2·s·F(s) + 6 = 1 / (s - 1)
(s^2 - 2·s + 2)·F(s) = 3·s + 1 / (s - 1)
A, B, C ∈ R olmak üzere,
F(s) = (3·s^2 - 3·s + 1) / [ (s^2 - 2s + 2)(s - 1) ] ≡ (A·s + B) / (s^2 - 2·s + 2) + C / (s - 1) şeklinde rasyonel kesirlere ayrılarak Belirsiz Katsayılar Kuralı gereğince A = 2, B = C = 1 bulunup,
F(s) = (2s + 1) / (s^2 - 2s + 2) + 1 / (s - 1)
F(s) = 2·{ (s - 1) / [ (s - 1)^2 + 1^2 ] } + 3·{ 1 / [ (s - 1)^2 + 1^2 ] } + 1 / (s - 1) eşitliğinde iki taraf ters Laplace dönüşümüyle,
ℒ^(-1) { F(s) } = ℒ^(-1) ( 2·{ (s - 1) / [ (s - 1)^2 + 1^2 ] } ) + ℒ^(-1) ( 3·{ 1 / [ (s - 1)^2 + 1^2 ] } ) + ℒ^(-1) { 1 / (s - 1) }
f(t) = 2·(e^t)·cos(t) + 3·(e^t)·sin(t) + e^(t) ve x değişkenine geri dönülerek;
f(x) = (e^x)·[ 2·cos(x) + 3·sin(x) + 1 ].