Çözüldü 2. Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemle Başlangıç Değer Problemi

University of California - Berkeley'den çözümlü bir örnek:

https://i.ibb.co/GCH2PRg/Berkeley-Dif-Eq.png
https://math.berkeley.edu/~mhaiman/math1B-spring18/final-sol.pdf
(Sayfa 7, Soru 11)
---
Laplace Dönüşümüyle Çözüm:
ℒ{ y'' } = (s^2)·Y(s) - s·y(0) - y'(0)
ℒ{ y' } = s·Y(s) - y(0)
ℒ{ y'' + 4y' + 5y } = ℒ{ 0 }
(s^2)·Y(s) - s·y(0) - y'(0) + 4[ s·Y(s) - y(0) ] + 5·Y(s) = 0
(s^2 + 4s + 5)·Y(s) - s·y(0) - y'(0) - 4·y(0) = 0
(s^2 + 4s + 5)·Y(s) - s·1 - 0 - 4·1 = 0
Y(s) = (s + 4) / (s^2 + 4s + 5)
Y(s) = (s + 2) / [ (s + 2)^2 + 1^2 ] + 2 / [ (s + 2)^2 + 1^2 ]
Y(s) = [ s - (-2) ] / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } + 2 / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 }
ℒ^(-1) { Y(s) } = ℒ^(-1) ( [ s - (-2) ] / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } + 2·1 / { [ s - (-2) ]^2 + 1^2 } )
y(x) = [ e^(-2x) ]·cos(1·x) + 2·[ e^(-2x) ]·sin(1·x)
y(x) = [ e^(-2x) ]·[ cos(x) + 2·sin(x) ]