Çözüldü Aritmetik ve Geometrik Ortalamalar (AO ve GO) Eşitsizliği - Türev (2 Soru)

https://i.ibb.co/sRn0wBw/AOvsGO.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=149361956179515&set=gm.1598042753666595&type=3&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

x^2 + 16 / x = x^2 + (1 / 2)·[ 2·(16 / x) ] = x^2 + (1 / 2)·(16 / x + 16 / x) = x^2 + 8 / x + 8 / x -------> (I) doğru.
AO = (x^2 + 8 / x + 8 / x) / 3 = (x^2 + 16 / x ) / 3....(1)
GO = [ (x^2)(8 / x)(8 / x) ]^(1 / 3) = 64^(1 / 3) = 4....(2)
AO ≥ GO nedeniyle (1) ≥ (2) yazılıp (x^2 + 16 / x ) / 3 ≥ 4 eşitsizliği düzenlenirse;
x^2 + 16 / x ≥ 3·4
x^2 + 16 / x ≥ 12 -------> (II) doğru.
f(x) = x^2 + 16 / x
f '(x) = 2x - 16 / (x^2) = 0 ⇒ x = 8 / (x^2) ⇒ x^3 = 8 ⇒ x = 2 -------> (III) doğru.
Doğru yanıt: (E)

x ∈ R^(+) olmak üzere 4x + [ 15 / (2x) ] ifadesinin en küçük doğal sayı değeri nedir?
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10216653695168485&set=gm.1600817336722470&type=3&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Çözüm - 1:
[ 4x + 15 / (2x) ] / 2 ≥ { 4x[ 15 / (2x) ] }^0,5
4x + [ 15 / (2x) ] ≥ 2√30....(I)
2√30 < 2√36
2√30 < 12....(II)
(I) ve (II) eşitsizliklerinden 4x + 15 / (2x) < 12 ve Minimum{ 4x + [ 15 / (2x) ] } = 11
---
Çözüm - 2:
f(x) = 4x + [ 15 / (2x) ] ⇒ f '(x) = 4 - 15 / (2x^2) = 0 ⇒ x = (√15) / (2√2)
Minimum{ 4x + [ 15 / (2x) ] } ≥ f[ (√15) / (2√2) ] = 4[ (√15) / (2√2) ] + 15 / [ 2(√15) / (2√2) }
Minimum{ 4x + [ 15 / (2x) ] } ≥ (2√15) / √2 + (15√2) / √15
Minimum{ 4x + [ 15 / (2x) ] } ≥ 60 / √30
Minimum{ 4x + [ 15 / (2x) ] } ≥ 2√30 < 2√36
Minimum{ 4x + [ 15 / (2x) ] } ≥ 2√30 < 12
Minimum{ 4x + [ 15 / (2x) ] } = 11
Not: 2√30 ≈ 10,95