Çözüldü Bağımsız Değişkeni y Olan Birinci Mertebeden (First Order) Lineer Diferansiyel Denklem

University of Bristol'den çözüm yolu gösterilmiş bir problem.
dy / dx = y / (y^2 + x)
https://people.maths.bris.ac.uk/~maajh/ODEs/sheet8.pdf
(2. Soru)


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/bristo10.png
https://people.maths.bris.ac.uk/~maajh/ODEs/solution8.pdf

Değişken Dönüşümüyle Çözüm:
u = g(y) ve v = h(y), y değişkenine bağlı fonksiyonlar olmak üzere x = u·v....(I) değişken dönüşümüyle
dx / y = u(dv / dy) + v(du / dy)....(II)
(II) ifadesi dx / dy - (1 / y)·x = y haline getirilmiş denklemde kullanılıp;
u(dv / dy) + v(du / dy) - (1 / y)·u·v = y
u(dv / dy - v / y) + v(du / dy) = y....(III) şekline giren denklemde dv / dy - v / y = 0....(IV) olmasını sağlayabilecek bir v fonksiyonu, (IV) denkleminden v = y....(V) bulunur ve (IV) şartıyla (V) eşitliğine göre (III) denkleminden;
y(du / dy) = y ⇒ du / dy = 1 ⇒ u = y + C....(VI) yazılarak,
(V) ve (VI) eşitlikleri (I)'deki yerlerine yazılıp; x = (y + C)y = y^2 + C·y genel çözüm olan x = f(y) fonksiyonu bulunur.

Not: Çözümün y = k(x) şeklinde gösterilmesi gerekirse y^2 + C·y - x = 0 denkleminden y = [ -C ∓ √(C^2 + 4x) ] / 2 yazılır.