Çözüldü Belirli İntegral - Basit Rasyonel Kesirlere Ayırma İşlemleri

Sadece zamanı olan meraklı öğrenciler için:
∫ { 1 + [ 1 / (2√x) ]^2 }^0,5 dx = ?
https://scontent.fadb3-1.fna.fbcdn....=ab4f183f118edac28adbdc3659f12b7e&oe=5EE82CE9
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2562121530707672&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1

Çözüm - 1
∫ { 1 + [ 1 / (2√x) ]^2 }^0,5 dx = ∫ √ [ (4x + 1) / (4x) ] dx
(4x + 1) / (4x) = u^2 ⇒ x = 1 / [ 4(u^2 - 1) ] ⇒ dx = -udu / { 2[ (u^2 - 1)^2 ] } değişken dönüşümüyle integralin yeni şekli;
-(1 / 2)·∫ [ (u^2)du / (u^2 - 1) ]^2 = -(1 / 2)·∫ [ u / (u^2 - 1) ]^2 du = (-1 / 2)·∫ { (1 / 2)·[ 1 / (u + 1) + 1 / (u - 1) ] }^2 du
-(1 / 8)·{ ∫ [ 1 / ( u + 1)^2 + 2 / (u^2 - 1) + 1 / ( u - 1)^2 ] du } =
-(1 / 8)·{ -1 / (u + 1) + 2∫du / (u^2 - 1) - 1 / (u - 1) + c1 } =
(1 / 8)·{ 1 / (u + 1) - 2∫du / (u^2 - 1) + 1 / (u - 1) - c1 } =
(1 / 8)·{ 2u / (u^2 - 1) - 2·∫ (1 / 2)·[ 1 / (u - 1) - 1 / (u + 1) ]du - c1 } =
(1 / 8)·{ 2u / (u^2 - 1) - ln(u - 1) + ln(u + 1) + c2 - c1 } =
(1 / 4)·[ u / (u^2 - 1) ] + (1 / 8)·ln[ (u + 1) / (u - 1) ] + c
u^2 = (4x + 1) / (4x) ve u = [ (4x + 1) / (4x) ]^0,5 dönüşümleriyle x değişkenine gidilerek;
(1 / 4)·2x·√(4 + 1 / x) + (1 / 8)·ln{ [ √(4x + 1) + 2√x ] / [ √(4x + 1) - 2√x ] } + c
(x / 2)·√(4 + 1 / x) + (1 / 8)·ln{ [ √(4x + 1) + 2√x ] / [ √(4x + 1) - 2√x ] } + c....(I)

WolframAlpha Kontrolu (WA) - 1:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate sqrt(1+(1/(2sqrt(x)))^2) dx sonucunda görüldüğü gibi (WA) gereksiz parçalamalar yapmış.

WolframAlpha Kontrolu - 2:
(I) sonucunun türevi alınırsa integrali bulunmak istenen ifade elde edilir.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=((x / 2)·√(4 + 1 / x) + (1 / 8)·log{ [ √(4x + 1) + 2√x ] / [ √(4x + 1) - 2√x ] })'
(Altta "Alternate form assuming x is positive:" bölümünde olup orada gösterilenin başlangıçta integrali araştırılan ifadeye eşit olduğunu görmek ilgilenen öğrencilere ödev)
---
Çözüm - 2 (ilgilenen öğrencilere araştırma ödevi)
tanθ = 1 / (2√x) değişken dönüşümüyle yapılacak.
---
Not: (I) sonucunda sınır değerlerinin (alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 5) kullanılması da zamanı olan ve ilgilenen öğrencilere bırakıldı.