Çözüldü Bir Eğriye Dik Durumlu Eğriler - Kapalı (Implicit) Fonksiyon Türevi - İntegral

Rice University'den çözümlü bir sorunun fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

n bir gerçel sayı olmak üzere y^2 + n·x^2 = 1 elipslerinin dy / dx = f(x, y) diferansiyel denkleminden bulunacak olan genel y = f(x, y) eğrileri arasında (1, -1) noktasından geçen hangisidir?


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/rice10.png
https://wetalldid.wordpress.com/wp-...quations-and-linear-algebra-colin-carroll.pdf
(Sayfa 4, Soru 3)

y^2 = A·[ e^(x^2 + y^2) ] eğrisi (1, -1) noktasından geçtiği için (-1)^2 = A·[ e^(1 + 1) ]
1 = A·e^2
A = 1 / e^2 = e^(-2) olup aranan eğri y^2 = e^(x^2 + y^2 - 2).

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/rice_g10.png

Not: y' = x·y / (1 - y^2) eşitliğinden sonra,
(dy / dx)(1 - y^2) / y = x
(1 / y - y)dy = xdx
ln|y| - y^2 / 2 = x^2 / 2 + C
2·ln|y| = x^2 + y^2 + 2C
ln(y^2) = x^2 + y^2 + 2C
y^2 = e^(x^2 + y^2 + 2C)
y^2 = [ e^(x^2 + y^2) ]·e^(2C) ve e^(2C) = A gibi başka bir reel sayı halinde yazılıp,
y^2 = A·[ e^(x^2 + y^2) ] genel denklemi yani diferansiyel denklemin çözümü bulunuyor.