Çözüldü Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denklem - Euler Yöntemine Göre Programlama

y' = x^2 - y / (2e^x - 1), y(0) = 2, y(1) = ?
https://www.facebook.com/photo?fbid...m.2824231657784119&idorvanity=292914657582511

y' = x^2 - y / (2e^x - 1)
y' + y / (2e^x - 1) = x^2....(I)
y = u·v....(II) ⇒ y' = dy / dx = u·dv / dx + v·du / dx....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri (I) denklemindeki yerlerine konulup düzenlenince,
u·dv / dx + v·du / dx + u·v / (2e^x - 1) = x^2
u·[ dv / dx + v / (2e^x - 1) ] + v·du / dx = x^2....(IV)
(IV) denkleminde sol taraftaki köşeli parantezler içindeki terimin sıfır olabilmesi halinde dv / dx + v / (2e^x - 1) = 0 ve
dv / v + dx / (2e^x - 1) = 0 denklemindeki terimlerin integralleri alınıp ln(v) + ln(2e^x - 1) = ln(e^x)
v = e^x / (2e^x - 1)....(V)
(V) eşitliği (IV) denkleminde kullanılınca u·0 + [ e^x / (2e^x - 1) ]·du / dx = x^2
du = x^2·[ (2e^x - 1) / e^x ]dx
du = [ 2x^2 - x^2·e^(-x) ]dx
u = 2x^3 / 3 - { [ -e^(-x) ]·(x^2 + 2x + 2) } + c
u = 2x^3 / 3 + [ e^(-x) ]·(x^2 + 2x + 2) + c....(VI)
(V) ve (VI) fonksiyonları (II) eşitliğinde sağ taraftaki yerlerine konulunca,
y(x) = { 2x^3 / 3 + [ e^(-x) ]·(x^2 + 2x + 2) + c }·[ e^x / (2e^x - 1) ]....(VII)
y(0) = 2 = [ 0 + 1·(0 + 0 + 2) + c ]·[ 1 / (2 - 1) ]
2 = (2 + c)·1 ⇒ 0 = c sabit değerine göre (VII) genel çözümünden başlangıç şartına göre özel çözüm;
y(x) = { 2x^3 / 3 + [ e^(-x) ]·(x^2 + 2x + 2) }·[ e^x / (2e^x - 1) ]
y(1) = (2 / 3 + 5 / e)·[ e / (2e - 1) ]
y(1) = [ (2e + 15) / (3e) ]·[ e / (2e - 1) ]
y(1) = (2e + 15) / (6e - 3).

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/XZrsq4pB/WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=y' = x^2 - y / (2e^x - 1), y(0) = 2, y(1) = ?

Bilgisayar programlamayla ilgilenen öğrenciler için Euler yöntemine göre Fortran çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/euler_11.png

(2e + 15) / (6e - 3) = 1,5354...
https://www.wolframalpha.com/input?i=(2e + 15) / (6e - 3)

Program:

Kod:

! Modified version of the program at https://www.mycompiler.io/view/AW09WGuQXDv
! to solve the differential equation
! y' = x^2 - y / (2e^x - 1), y(0) = 2, y(1) = ?
PROGRAM euler
!Euler's method to solve a first order differential equation
implicit none
integer i, n
real :: b = 1                         ! value at which result is to be found
real :: a = 0                         ! initial x0
real :: c = 2                         ! y0 for x0
real :: h = 0.0001                    ! the value of stepsize
real (kind = 8) :: x(10000), y(10000) ! Arrays to hold x and y values
real (kind = 8) :: f

open (unit = 1, file = "x_y_listesi.txt")

x(1) = a
y(1) = c
  
n = INT((b - a) / h)

write(*,*)'The function values at each step is given below.'
write(*,*)'       x       Function value'

write(1,*)'The function values at each step is given below.'
write(1,*)'    x     Function value'

write(1,10) x(1), y(1)     
write(6,10) x(1), y(1)

do i = 1, n
   x(i + 1) = x(i) + h
   y(i + 1) = y(i) + h*f(x(i), y(i))
   write(6,10) x(i + 1), y(i + 1)
   write(1,10) x(i + 1), y(i + 1)
enddo

close(1)

write(6,20)"Tum koordinatlar icin x_y_listesi.txt dosyasina bakiniz."
print*," "
write(6,15) "x = ",INT(x(i+1))," icin y(",INT(x(i+1)),") = ",y(i)
    
10 format (1x,F8.4,5x,F8.4)
15 format ((a,i1,a,i1,a,F8.4))
20 format(/,a)
end

real (kind = 8) function f(x,y)
real (kind = 8) x, y
f = x**2 - y / (2*EXP(x) - 1)
return
end function

Not: Programın verdiği tam liste ektedir.