Çözüldü Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denklemde Bağımsız Değişkenin Değişimiyle Çözüm

North Carolina State University'den:


https://i.ibb.co/3hwz9jq/NCState.png
https://kurtz.wordpress.ncsu.edu/files/2021/09/341T1SolutionsF21.pdf
(2. problem, çözüm sayfa 2'de)
Not: IVP = Initial Value Problem (Başlangıç Değer Problemi)

Çözüm - 2
Bağımsız değişken y olacak şekilde denklem düzenlenirse;
dx / dy - x·tan(y) = -1 ve y değişkenine bağlı birer fonksiyon u ile v olmak üzere x = u·v....(I) ⇒ dx / dy = u·(dv / dy) + v·(du / dy) değişken dönüşümüyle denklemin yeni hali u·(dv / dy) + v·(du / dy) - u·v·tan(y) = -1
u·[ dv / dy - v·tan(y) ] + v·(du / dy) = -1....(II) denkleminde dv / dy - v·tan(y) = 0....(III) olmasını sağlayan v(y) fonksiyonu, integral alınarak (ilgilenen öğrencilere ödev) v(y) = C1·sec(y)....(IV)
(III) koşuluyla (IV) fonksiyonu kullanılarak (II) denklemi [ C1·sec(y) ]·(du / dy) = -1 haline gelerek yine integral işlemi yapılıp (ilgilenen öğrencilere ödev), u(y) = (-1 / C1)·sin(y) + C2....(IV)
(IV) ve (V) fonksiyonlarına göre (I) eşitliği, C1·C2 = C alınıp sadeleştirilerek düzenlenirse x·cos(y) + sin(y) = C genel çözümü bulunur. Denklem x·cos[ y(x) ] + sin[ y(x) ] = C olduğundan x = 12 ve y(12) = 0 başlangıç değeriyle, 12·cos[ y(12) ] + sin[ y(12) ] = C
12·cos(0) + sin(0) = C ⇒ C = 12 olacağından özel çözümün x·cos(y) + sin(y) = 12 olduğu doğrulanmış olur.