Çözüldü Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denklemle Fizik Uygulaması

University of Massachusetts - Lowell'den çözümü yaptırılmamış bir problemin klasik sınav uyarlaması:

İçinde yarım kilo çözülmüş tuz olan 50 litre suyun bulunduğu bir depoya litresi 100 gram tuz içeren su dakikada 2 litre hızla eklenerek iyice karıştırılıp 6 litre / dakika hızla depodan boşaltıldığına göre proses başladıktan 4,5 dakika sonra depodaki solüsyonda kaç gram tuz vardır?

Tuz miktarı (gram): x
Dakika olarak zamana (t) bağlı tuzlu su hacmi (litre): V(t) = 50 (litre) + [ (2 - 6) (litre / dakika) ]·t (dakika) = 50 - 4t
Tuz miktarının zamana bağlı değişimi (gram / dakika): dx / dt = Depoya Giren Tuz - Depodan Çıkan Tuz
(dx / dt) (gram / dakika) = [ 100 (gram / litre) ]·[ 2 (litre / dakika) ] - { x (gram) / [ (50 - 4t) (litre) }·6 (litre / dakika)
dx / dt = 200 - 3x / (25 - 2t)
dx / dt + 3x / (25 - 2t) = 200....(I)
t zamanına bağlı fonksiyonlar u ve v olmak üzere x = u·v....(II) ⇒ dx / dt = u·dv / dt + v·du / dt....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri (I) denklemindeki yerine yazılıp düzenlenirse u·[ dv / dt + 3v / (25 - 2t) ] + v·du / dt = 200....(IV)
dv / dt + 3v / (25 - 2t) = 0 olmasını sağlayan v fonksiyonu dv / v + 3dt / (25 - 2t) = 0 ⇒ ln(v) - (3 / 2)ln(25 - 2t) = ln(c1)
v = c1·(25 - 2t)^(3 / 2)....(V)
(V) fonksiyonu (IV) denklemindeki yerine götürüldüğünde u·0 + [ c1·(25 - 2t)^(3 / 2) ]·(du / dt) = 200
du = (200 / c1)·[ (25 - 2t)^(-3 / 2) ]dt
u = (200 / c1)·(-1 / 2)(25 - 2t)^(-1 / 2) / (-1 / 2) + c2 = (200 / c1)·(25 - 2t)^(-1 / 2) + c2....(VI)
(V) ve (VI) fonksiyonları (II) eşitliğindeki yerlerine konulduğunda;
x(t) = [ (200 / c1)·(25 - 2t)^(-1 / 2) + c2 ]·[ c1·(25 - 2t)^(3 / 2) ]
x(t) = 200(25 - 2t) + c1·c2·(25 - 2t)^(3 / 2)
x(t) = 5000 - 400·t + c·(25 - 2t)^(3 / 2)....(VII) genel çözümü bulunarak x(0) = 500 gram başlangıç değerine göre,
500 = 5000 - 0 + c·125
c = -4500 / 125 = -36 değeri (VII) denklemindeki yerine yazılıp özel çözüm; x(t) = 5000 - 400·t - 36·(25 - 2t)^(3 / 2)
t = 4,5 = 9 / 2 dakika sonunda kalan tuz miktarı x(3) = 5000 - 400(9 / 2) - 36·[ 25 - 2(9 / 2) ]^(3 / 2)
x(3) = 3200 - 36·(4^2)^(3 / 2) = 3200 - 36·64 = 3200 - 2304 = 896 gram.

Sorunun Aslı:

https://i.ibb.co/Lzg7fws7/Amherst.png
https://wetalldid.wordpress.com/wp-...ring-differential-equations-steve-pennell.pdf
(Son soru)

Not: Kırmızı renkli genel denklemin benim biraz ezbere olduğunu düşündüğüm için öğrendiğimden beri hiç sevmediğim "İntegrasyon Faktörü Yöntemi"ne göre Google Gemini tarafından bulunuşu:

https://i.ibb.co/nM0MPvZj/Integrasyon-Fakt-r.png