Çözüldü Çarpanlara Ayırma - Beşinci Derece Cebirsel Özdeşlikler

x + (1 / x) = √13 ⇒ x^5 - (1 / x^5) = ?
(Yukarıdaki parantezler gereksiz olmalarına rağmen aritmetik işlemlerdeki öncelik sırasını tam bilmeyenler için kullanıldı.)
Sorunun Boynunu Eğmiş Aslı: https://www.facebook.com/photo/?fbid=2160525864124938&set=g.289690338076153

x^5 - y^5 = (x - y)·[ x^2 + y^2 + (1 - √5)·x·y / 2 ]·[ x^2 + y^2 + (1 + √5)·x·y / 2 ]....(I)
https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-5-y-5

x + 1 / x = √13 ⇒ x^2 + 2 + 1 / x^2 = 13 ⇒ x^2 + 1 / x^2 = 11....(II)
(II) eşitliğinden (x - 1 / x)^2 + 2 = 11 ⇒ x - 1 / x = ∓3....(III)
y = 1 / x alınarak (I) özdeşliği,
x^5 - 1 / x^5 = (x - 1 / x)·[ x^2 + 1 / x^2 + (1 - √5) / 2 ]·[ x^2 + y^2 + (1 + √5) / 2 ]....(IV)
(II) ve (III) değerleri (IV)'te kullanılıp,
x^5 - 1 / x^5 = ∓3·[ 11 + (1 - √5) / 2 ]·[ 11 + (1 + √5) / 2 ] = ∓3·[ (23^2 - 5) / 4 ] = ∓3·131
x^5 - 1 / x^5 = ∓393.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/dMH92CW/zde-lik-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=x+1/x=sqrt(13),x^5-1/x^5=?