Çözüldü Cebirsel İntegralde Trigonometrik Dönüşüm (Sadece zamanı bol ve trigonometriye çok meraklılara)

https://www.facebook.com/photo/?fbid=122138845358915071&set=g.289690338076153

İntegral düzenlenerek ∫ x·[ (1 - 3x^2) / (1 + 3x^2)^3 ]^0,5 dx şeklinde yazılınca,
x = (1 / √3)·tan(θ)....(I) ⇒ dx = (1 / √3)·[ sec(θ) ]^2 dθ dönüşümüyle
(1 / 3)·∫ tan(θ)·[ sec(θ) ]^2·( { 1 - [ tan(θ) ]^2 }^0,5 / { 1 + [ tan(θ) ]^2 }^0,5 ) dθ sadeleştirilerek,
(1 / 3)·∫ { sin(θ) / [ cos(θ) ]^2 }·{ 2·[ cos(θ) ]^2 - 1 }^0,5 dθ integralinde cos(θ) = t....(II) ⇒ sin(θ) dθ = -dt dönüşümüyle
-(1 / 3)·∫ (2t^2 - 1)^0,5 dt / t^2 integralinde t = (1 / √2)·sec(β)....(III) ⇒ dt = (1 / √2)·sec(β)·tan(β) dβ dönüşümüyle
-(1 / 3)·∫ ( { 2·(1 / 2)·[ sec(β) ]^2 - 1 }^0,5 / { (1 / 2)·[ sec(β) ]^2 } )·(1 / √2)·sec(β)·tan(β) dβ ve sadeleştirilerek,
[ -(√2) / 3 ]·∫ [ tan(β) ]^2 dβ / sec(β) =
[ -(√2) / 3 ]·∫ [ sin(β) ]^2 dβ / cos(β) =
[ -(√2) / 3 ]·∫ { 1 - [ cos(β) ]^2 } dβ / cos(β) =
[ -(√2) / 3 ]·[ ∫ sec(β) dβ - ∫ cos(β) dβ ] =
[ -(√2) / 3 ]·{ ln[ sec(β) + tan(β) ] - sin(β) } + C....(IV)
(III) eşitliğinden t değişkenine dönülürse;
sec(β) = t·√2, tan(β) = (2t^2 - 1)^(1 / 2), sin(β) = (1 / t)·(t^2 - 0,5)^0,5 ve bu eşitliklerde (II) eşitliği kullanılınca,
sec(β) = √2·cos(θ), tan(β) = { 2·[ cos(θ) ]^2 - 1 }^(1 / 2), sin(β) = (√2)·cos(θ)·{ [ cos(θ) ]^2 - 0,5 }^0,5 ve bunlarda da (I) eşitliğinden ters dönüşümle,
sec(β) = √2·[ 1 / (3x^2 + 1)^0,5 ] = [ 2 / (3x^2 + 1) ]^0,5....(V)
tan(β) = 2 / (3x^2 + 1) - 1 = (1 - 3x^2) / (3x^2 + 1)....(VI)
sin(β) = (√2)·[ 1 / (3x^2 + 1)^0,5 ]·[ 1 / (3x^2 + 1) - 1 / 2 ]^0,5
sin(β) = [ √2 / (3x^2 + 1) ]^0,5·[ (1 / 2)·(1 - 3x^2) / (3x^2 + 1) ]^0,5
sin(β) = (1 - 3x^2)^0,5 / (3x^2 + 1)....(VII)
(V), (VI), (VII) eşitlikleri (IV)'e götürülüp sonuç;
[ -(√2) / 3 ]·( ln{ [ 2 / (3x^2 + 1) ]^0,5 + (1 - 3x^2) / (3x^2 + 1) } - (1 - 3x^2)^0,5 / (3x^2 + 1) ) + C.

Soran kişinin karman çorman cebirsel çözümü (doğru mu diye bakmadım, isteyen incelesin)
https://www.facebook.com/photo/?fbid=122138845376915071&set=g.289690338076153