Çözüldü Cebirsel İntegralde Trigonometrik Dönüşüm

∫ dx / [ (1 + x^2)·(1 - x^2)^0,5 ] = ?
https://www.facebook.com/photo/?fbi....4340532259539724&idorvanity=1587892451470399

x = tan(θ)....(0) ⇒ dx = [ sec(θ) ]^2 dθ dönüşümüyle integralin yeni hali;
∫ [ sec(θ) ]^2 dθ / ( { 1 + [ tan(θ) ]^2 }·{ 1 - [ tan(θ) ]^2 }^0,5 ) =
∫ cos(θ) dθ / √cos(2θ) =
∫ cos(θ) dθ / { 1 - 2·[ sin(θ) ]^2 }^0,5....(I)
sin(θ) = t / √2....(II) ⇒ dt / √2 = cos(θ) dθ....(III)
(II) ve (III) dönüşümlerine göre (I) integrali;
(1 / √2)·∫ dt / (1 - t^2)^0,5 =
(1 / √2)·arcsin(t) + C ve (II) eşitliğinden θ değişkenine dönülünce,
(1 / √2)·arcsin[ (√2)·sin(θ) ] + C ve (0) eşitliğine göre Pisagor Teoremi gereğince x değişkenine dönülüp sin(θ) = x / (1 + x^2)^0,5
(1 / √2)·arcsin[ (√2)·x / (1 + x^2)^0,5 ] + C =
(1 / √2)·arcsin{ [ 2x^2 / (x^2 + 1) ]^0,5 } + C.

Sonucun Türevi Alınarak Doğruluk Kontrolu:

https://i.ibb.co/FLwJ6Smh/integral-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(d/dx)((1/sqrt(2))*arcsin(sqrt(2x^2/(x^2+1))))

Not: WolframAlpha'nın verdiği ve okla gösterilen alternatif sonucun integrali sorulan ifadeye eşit olduğunu görmek ilgilenen öğrencilere ödev.