Çözüldü Çemberin Analitiği - Pisagor Teoremi - Dairede ve Karede Alan - İntegral

Çözümlü SAT hazırlık sorularından birinin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:


https://i.ibb.co/CsPf1L0F/SAT-Question.png

Yukarıdaki problemin çözümünü geometrik olarak yapınız ve aynı sonucu vermek üzere içinde integral de bulunan işlemi yalnızca yazınız.

Geometrik Çözüm:

https://i.ibb.co/N6L7QbHn/SAT-Video.png
https: // www . youtube . com / watch?v=cbUqDturX2c
(09:54 - 13:25)
https://tutoringmaphy.com/wp-content/uploads/2025/10/SAT-Math-Hard-Questions-Episode-1.pdf
(Sayfa 3, Soru 3)

İntegralle Çözüm: (Basit ara işlemler, çizerek görmek ve integrallerin nasıl yazıldığını anlamak ilgilenen öğrencilere ödev.)
P orijin olmak üzere Kartezyen Düzleme geçilirse P Noktasından geçen ve yarıçapı 1 birim olan çemberin denklemi;
(x - 1 / √2)^2 + (y - 1 / √2)^2 = 1
Çemberin çaplarından x eksenine paralel olanın denklemi y = 1 / √2 ve bu doğrunun çemberi kestiği noktanın apsisi x = 1 / √2 + 1 (çembere en sağda teğet olan doğru)
Çemberin x ≥ 0 ve y ≥ 1 / √2 olmak üzere üstteki parçasının denklemi y = [ 1 - (x - 1 / √2)^2 ]^0,5 + 1 / √2
Çemberin x ≥ 0 ve y < 1 / √2 olmak üzere alttaki parçasının denklemi y = -[ 1 - (x - 1 / √2)^2 ]^0,5 + 1 / √2

https://i.ibb.co/5g7Tgv23/SAT-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(2^2-((integrate sqrt(1-(x-1/sqrt(2))^2)+1/sqrt(2) dx from x=0..1/sqrt(2)+1)-(integrate -sqrt(1-(x-1/sqrt(2))^2)+1/sqrt(2) dx from x=sqrt(2)..1/sqrt(2)+1))) / 2^2

Not: (6 - π) / 8 = 0,3573009183...