Çözüldü Çemberin ve Doğrunun Analitiği-Türev-2 Bilinmeyenli 2.Derece Denklem ve Katlı Kökler

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/analit57.png
http://odsgm.meb.gov.tr/destekmateryal/pdf/calisma/2122/Lise/AYT/AYT_Malatya.pdf
(Sayfa 38, Soru 43)

Çözüm - 1:
Çemberin denklemi (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 9 şeklinde yazılırsa M(-2, -3) merkezinin 4x - 3y + k = 0 doğrusuna olan uzaklığı çemberin yarıçapına eşit ve 3 birim olacağından ∓[ (-2)(4) + (-3)(-3) + k ] / { [ 4^2 + (-3)^2 ]^0,5 } = 3 eşitliği ile;
-(k + 1) = 15 ⇒ k = -16.

Çözüm - 2:
Çembere teğetin değme noktası T(a, b) olup değme noktasındaki türev teğetin eğimi olan 4 / 3'e eşit olacağından,
2(x + 2) + 2(y + 3)(y') = 0 ⇒ y ' = f '(x, y) = -(x + 2) / (y + 3)
f '(a, b) = -(a + 2) / (b + 3) = 4 / 3....(I)
T(a, b) noktası çemberin denklemini de sağlayacağı için (a + 2)^2 + (b + 3)^2 = 9....(II)
(I) ve (II) denklemleri çözülürse (ilgilenen öğrencilere ödev) değme noktalarının koordinatları;
a1 = 2 / 5, b1 = -24 / 5, T1(2 / 5, -24 / 5)
a2 = -22 / 5, b1 = -6 / 5, T2(-22 / 5, -6 / 5)
T1 noktasına göre teğet denkleminden 4·(2 / 5) - 3·(-24 / 5) + k1 = 0 ⇒ k1 = -16,
T2 noktasına göre teğet denkleminden 4·(-22 / 5) - 3·(-6 / 5) + k2 = 0 ⇒ k2 = 14.

Çözüm - 3:
Çember ve teğet doğrusu kesiştirilip (x + 2)^2 + [ (4x + k) / 3]^2 + 4x + 6·[ (4x + k) / 3 ] + 4 = 0 yazılarak düzenlenirse,
25x^2 + 4(2k + 27)x + k^2 + 18k + 36 = 0 ikinci derece ortak denkleminde yarım diskriminant sıfıra eşitlenip,
[ 2·(2k + 27) ]^2 - 25·(k^2 + 18k + 36) = 0
k^2 + 2k - 224 = 0 ikinci derece denklemindeki negatif kök k1 = { -1 - [ (1^2 + 224)^0,5 ] } / 1 = -16.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/analit58.png