Çözüldü Çemberin ve Doğrunun Analitiği - Türev

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2 çemberinin P(-1, 4) noktasına en yakın noktasının ordinatı kaçtır?

Güvender ÖSS Geometri
(Sayfa 280, ÖSS Deneme Sınavı - 18, Soru 16)
(Cevap son sayfada)

Analitik Çözüm:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2 ⇒ x = 2 ∓ √(1 + 2y - y^2)
Aranan noktanın koordinatları A(2 ∓ √(1 + 2y - y^2), y)....(I)
MP doğrusunun denklemi (y - 1) / (1 - 4) = (x - 2) / [ 2 - (-1) ] ⇒ x = 3 - y....(II)
Çemberin merkezi M(2, 1) ve A noktası da MP doğrusunun üzerinde olacağından (I) koordinatları (II) eşitliğinde yerlerine yazılırsa;
2 ∓ √(1 + 2y - y^2) = 3 - y
∓√(1 + 2y - y^2) = 1 - y
1 + 2y - y^2 = 1 - 2y + y^2
2y^2 - 4y = 0
y(y - 2) = 0
y1 = 0, y2 = 2
Merkez (I). bölgede, P noktası ise (II) bölgede olduğundan çemberin üzerinde P noktasına en yakın olan A noktasının ordinatının y > 0 olması gerektiğinden y = 2 bulunur. Çemberin üzerinde P noktasına en uzak noktanın ordinatı da y = 0 olur.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zember70.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot (x-2)^2+(y-1)^2=2, x+y-3=0,x=-1,x=1,y=0,x=0
---
Türevli Çözüm:
f(y) = |AP| = { [ 2 - (-1) ∓ √(1 + 2y - y^2) ]^2 + (y - 4)^2 }^0,5 = [ 26 ∓ 6√(1 + 2y - y^2) - 6y ]^0,5
df(y) / dy = f '(y) = { 0 ∓ 6·(-2y + 2) / [ 2√(1 + 2y - y^2) ] - 6 } / { 2[ 26 ∓ 6√(1 + 2y - y^2) - 6y ]^0,5 } = 0
∓6(y - 1) / √(1 + 2y - y^2) - 6 = 0
∓(y - 1) = √(1 + 2y - y^2)
y^2 - 2y + 1 = 1 + 2y - y^2
2y^2 - 4y = 0
y1 = 0
y2 = 2 (aranan noktanın ordinatı)