Çözüldü Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev-Uzay Analitik Geometri-Skaler ve Vektörel Çarpım (3 Soru)

https://i.ibb.co/tHLrnDs/3soru.png
https://www.facebook.com/groups/1174585619345646/ grubuna gönderilmiş bir soruydu ancak bu grup 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.

Soru - 1
g(s, t) = < r·(s^2) - r·(t^2), r·(t^2) - r·(s^2) >
∂g / ∂s = < 2rs, -2rs >
∂g / ∂t = < 2rt, 2rt >
t·(∂g / ∂s) + s·(∂g / ∂t) = t·< 2rs, -2rs > + s·< -2rt, 2rt > =
< 2rts, -2rts > + < -2rts, 2rts > =
< [ 2rts + (-2rts) ], [ (-2rts) + 2rts ] > =
< 0, 0 > =
0
---
Soru - 2
i, j, k birim vektörler olmak üzere yüzeyin parametrik vektörel denklemi:
r(u, v) = (u^2)·i + (v^2)·j + (u + 2v)·k
r(u, v) = < u^2, v^2, u + 2v > vektörünün kısmi türevleri;
∂r / ∂u = < 2u, 0, 1 > ve ∂r / ∂v = < 0, 2v, 2 > olarak vektörel çarpım;


https://i.ibb.co/G0F1q3r/vekt-rel-arp-m.png

(∂r / ∂u) x (∂r / ∂v) = (0·2 - 1·2v)·i - (2u·2 - 0·1)·j + (2u·2v - 0·0)·k
(∂r / ∂u) x (∂r / ∂v) = -2v·i - 4u·j + 4·u·v·k
(∂r / ∂u) x (∂r / ∂v) = < -2v, -4u, 4uv >....(I)
u^2 = 1 ⇒ u = ∓1
v^2 = 1 ⇒ v = ∓1
u + 2v = 3 olabilmesi için u = 1, v = 1 olmalıdır ve buna göre (I) vektörel çarpımının sayısal sonucu;
r(u, v) = < -2·1, -4·1, 4·1·1 > = < -2, -4, 4 >
Aranan teğetin (üzerinde olduğu düzlemin) denklemi; -2(x - 1) + (-4)(y - 1) + 4(z - 3) = 0 açılıp sadeleştirilerek standart formda düzenlenirse; x + 2y - 2z = -3 bulunur.

Kaynak:
https: // www . youtube . com / watch?v=exwP123omhI
---
Soru - 3
(Bu sorununun neden böyle kolay olduğunu anlayamadım)
Kısmi türevler; ∂z / ∂x = 2x - 10 ve ∂z / ∂y = 2y