Çözüldü Değişim Oranı (Hızı) (Rate of Change, Related Rate) - Trigonometrik Türev

University of British Columbia'dan çözümsüz bir problemin şekil çizimi öğrencinin soruyu okuyup anlama gücüne bırakılmış olarak fen lisesi için test (veya klasik sınav) uyarlaması:

2 metre genişliğindeki doğrusal bir iskelenin, yanında olduğu göl ile arasındaki kısımda bulunan 10 metrelik bir direğin tepesine konulmuş kamerayla iskelenin karaya bağlandığı noktadan itibaren trafiğe kapalı bir sokağa doğru geçişler gözlenebilmektedir. Bu iskeleden her gün kendileri için yapılmış özel bir rampadan göle inip bir süre yüzdükten sonra geri dönerek hep doğrusal bir dizi halinde giden bir ördek sürüsünün, iskele genişliğinin bittiği noktadan itibaren 3 metre uzunluğa ulaştığını belirleyen kameranın o anki açısal dönüşünün artış hızı saniyede 1 / 100 radyan ise kamera görüş açısında kalan bu ördek katarı uzunluğunun büyüme hızı kaç cm / saniyedir?

A) 11,3
B) 12,5
C) 13,2
D) 14,7
E) 15,6


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/ducks10.png
https://personal.math.ubc.ca/~keshet/OpenBook.pdf
(Sayfa 356, Soru 16.29, Yanıt: Sayfa 436)

|AB| = H = 10 metre
|BC| = D = 2 metre
|CE| = x metre
∡EAC = α
∡ACB = arctan(10 / 2) = arctan(5) radyan
∡AEC = arctan(5) - α
ABE dik üçgeninde tan[ arctan(5) - α ] = 10 / (x - 2)
[ 5 - tan(α) ] / [ 1 + 5·tan(α) ] = 10 / (x - 2)
tan(α) = 5x / (x + 52)....(I) ve x = 3....(II) metre için tan(α) = 3 / 11....(III)
(I) eşitliğinde iki tarafın zamana (t değişkenine) göre türevi alınınca;
{ 1 + [ tan(α) ]^2 }·(dα / dt) = [ (5·dx/dt)·(x + 52) - (dx / dt)·5x ] / (x + 52)^2
{ 1 + [ tan(α) ]^2 }·(dα / dt) = 260·(dx/dt) / (x + 52)^2....(IV)
dα / dt = 1 / 100 radyan / saniye ile (II) ve (III) değerleri (IV) eşitliğindeki yerlerine konulup,
(1 + 9 / 121)·(1 / 100) = 260·(dx/dt) / 55^2 ⇒ dx/dt = 1 / 8 = 0,125 metre / saniye = 12,5 cm / s.