Çözüldü Değişim Oranı - Türev - Kübik Denklemde Rasyonel Kök Teoremi - Doğal Sayılar

University of Cincinnati Calculus Contest 2011 çözümlü sorularından biraz zorlaştırılmış AYT uyarlaması:

Dikdörtgen biçimindeki bir güneş enerjisi panelinin dik kenarlarının boyutları gelen ışığın aydınlık şiddetiyle orantılı değişirken, bir köşesi sabitlenmiş köşegenin diğer ucu da x^3 - 2x·y^2 + y^3 + 1 = 0 fonksiyonu üzerinde hareket edip panel alanını güneş batana kadar maksimum enerji alınmasını sağlamak üzere büyütmektedir. Bu değişimde panel köşegeninin, dik kenarlardan biriyle yaptığı açının tanjantı
3 / k, [ k ∈ N^(+) ] olduğu anda panelin yatay uzunluğunun dakikada 1 cm'lik hızla büyüdüğü bilindiğine göre o sıradaki panel alanı genişlemesi dakikada kaç santimetre karedir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Köşegenin dik kenarlardan biriyle yaptığı açı θ ve tan(θ) = 3 / k ise köşegenin ucunun apsisinin 3 ve ordinatının da k olduğu varsayılırsa
3^3 - 2·3·k^2 + k^3 + 1 = 0 ⇒ k^3 - 6k^2 + 10 = 0 denkleminin doğal sayılar kümesinde kökü olmadığından apsis k ve ordinat 3 alınarak
k^3 - 2·k·3^2 + 3^3 + 1 = 0 ⇒ k^3 - 18k + 28 = 0 denkleminin bir kökünün Rasyonel Kök Teoremi gereğince k = 2 ∈ N^(+) olduğu görülür ve köşegen ucunun koordinatlarının da (2, 3) olduğu anlaşılıp çözüm aşağıdaki gibi tamamlanır:


https://i.ibb.co/SBD7K9v/Cincinnati.png
https://www.artsci.uc.edu/content/d...ts/math/docs/CalculusContest2011Solutions.pdf
(Sayfa 2, Soru 4)