Çözüldü Diferansiyel Denklem Çözümünde Laplace Dönüşümü ve Konvolüsyon Teoremi

Harvard University ve MIT okutmanlarından (lecturer) Dr. Robert Winters'ın çözümlü örneklerinden:

x'' + 3x' + 2x = 2e^(-t), x(0) = x'(0) = 0

ℒ{ x'' + 3x' + 2x } = ℒ{ 2e^(-t) }
s^2·X(s) - s·x(0) - x'(0) + 3·[ s·X(s) - x(0) ] + 2·X(s) = 2 / [ s - (-1) ]
s^2·X(s) + 3s·X(s) + 2·X(s) = 2 / (s + 1)
(s + 2)(s + 1)X(s) = 2 / (s + 1)
W(s) = 1 / [ (s + 2)(s + 1) ] = -1 / (s + 2) + 1 / (s + 1)
Ağırlık fonksiyonu (Weight function) ise ters Laplace dönüşümüyle w(t) = 0, t < 0 ve w(t) = -e^(-2t) + e^(-t), t ≥ 0 yani Heaviside Birim Basamak fonksiyonu olan u(t) cinsinden w(t) = u(t)[-e^(-2t) + e^(-t) ],
Sağ taraflı fonksiyon (girişteki sinyal fonksiyonu) f(t) = 2e^(-t) olduğundan ağırlık fonksiyonuyla beraber konvolüsyona alınıp;

https://i.ibb.co/QDWjNwg/Convolution.png
http://math.rwinters.com/E21c/notes/Convolution.pdf
(Sayfa 2-3'teki örneğin c şıkkı)