Çözüldü Diferansiyel Denklemler (7 Soru)

SORU - 1
dy / dx = -y(cosx + sinx) / (y + sinx - cosx) diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Denklem düzenlenirse y(cosx + sinx)dx + (y + sinx - cosx)dy = 0 olup M(x, y) = y(cosx + sinx) ve N(x, y) = y + sinx - cosx alınarak kısmi türevlere bakılırsa;

∂M / ∂y = cosx + sinx

∂N / ∂x = cosx + sinx

olup ∂M / ∂y = ∂N / ∂x nedeniyle "Tam Diferansiyel" denklemdir.

u(x, y) = c....(I) şeklinde bir çözümü olacağından M(x, y) = ∂u / ∂x = y(cosx + sinx) ⇒ u(x, y) = ∫y(cosx + sinx)dx + F(y) = y(-sinx + cosx) + F(y)....(II)

(II) eşitliğinden ∂u / ∂y = -sinx + cosx + F'(y) = N(x, y) oluşturulursa;

-sinx + cosx + F'(y) = y + sinx - cosx ⇒ F'(y) = y + 2(sinx - cosx) ⇒ F(y) = (y^2 / 2) + 2(sinx - cosx)y....(III) bulunur.

(III) eşitliği (II) denkleminde yerine yazılırsa;

u(x, y) = y(-sinx + cosx) + (y^2 / 2) + 2(sinx - cosx)y ve düzenlenirse;

-ysinx + ycosx + (y^2 / 2) + 2ysinx - 2ycosx = c

(y^2 / 2) + y(sinx - cosx) = c

y^2 + 2(sinx - cosx)y - 2c = 0....(IV) ikinci derece denklemi çözülürse;

y = (cosx - sinx) ∓ √ [ (sinx - cosx)^2 + 2c ] ve 1 + 2c = K gibi başka bir sabit olarak alınıp;

y = cosx - sinx ∓ √(K - sin2x) çözümü bulunur.

Doğruluk Kontrolu:
WolframAlpha "i" kullanarak kompleks sayılarla gereksiz fantezi yaptığından,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=dy/dx=-y(cos(x)+sin(x))/(y+sin(x)-cos(x))

klasik test için (IV) ifadesinin türevi alınırsa;

2y(dy / dx) + 2/dy / dx)(sinx - cosx) + 2y(cosx + sinx) = 0

dy(y + sinx - cosx) + y(cosx + sinx)dx = 0

dy / dx + y(cosx + sinx) / (y + sinx - cosx) =) 0

dy / dx = -y(cosx + sinx) / (y + sinx - cosx) olarak problemdeki diferansiyel denklem tekrar elde edilir.
---
SORU - 2
2xydy + (6y^2 - x^2)dx = 0 homojen diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

y = ux....(I) değişken dönüşümüyle dy = udx + xdu olup denklemde yerine yazılırsa;

2x·ux·(udx + xdu) + [6(u^2)(x^2) - x^2]dx = 0

2(u^2)(x^2)dx + 2u(x^3)du + (x^2)(6u^2 - 1)dx = 0

(x^2)(2u^2 + 6u^2 - 1)dx + 2u(x^3)du = 0

(8u^2 - 1)dx + 2uxdu = 0

dx / x + 2udu / (8u^2 - 1) = 0....(II) ifadesindeki ikinci terimde 8u^2 - 1 = t değişken dönüşümüyle 2udu = dt / 8 olup burada yerine konursa;

dx / x + (1 /8)(dt / t) = 0 ve integraller alınırsa;

ln(x) + (1 / 8)ln(t) = ln(k)

8ln(x) + ln(8u^2 - 1) = ln(k^8) ve (I) ifadesinden çıkan u = y / x yerine yazılırsa;

ln[ (x^8)(8y^2 / x^2 - 1) ] = ln(k^8)

8y^2 - x^2 = k / x^6

y^2 = (k + x^8) / (8x^6)

y = ∓[ 1 / (2x^3) ]·√[ (c + x^8) / 2 ] çözümü bulunur.

WolframAlpha'ya tam uygunluk için yeniden düzenlenirse;

y = ∓ [ √(c + x^8) ] / [ (2√2)x^3 ]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2xydy + (6y^2 - x^2)dx = 0
---
SORU - 3
xy' + xy = (x^2)·(y^3) diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Denklem düzenlenirse y' + y = x·(y^3) "Bernoulli" diferansiyel Denklemi olduğu görülür.

Her terim y^3 ile bölünürse [ y^(-3) ]·y' + y^(-2) = x....(I) ve buradan;

u = y^(1 - 3) = y^(-2)....(II) ⇒ du / dx = -2[ y^(-3) ]·(dy / dx) ⇒ [ y^(-3) ]·(dy / dx) = (-1 / 2)(du / dx)....(III) olur.

(II) ve (III) ifadeleri (I) denkleminde yerlerine yazılırsa; (-1 / 2)(du / dx) + u = x ⇒ du / dx - 2u = -2x....(IV) olarak çıkan ifade 1. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem olup Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) yöntemiyle çözülmek üzere (IV) eşitliğinin sol tarafı sıfıra eşitlenirse;

du / dx - 2u = 0 ⇒ du / u - 2dx = 0 ve integraller alınırsa ln(u) - 2x = -ln(c1) ⇒ ln(u·c1) = 2x ⇒ u·c1 = e^2x ⇒ u = c·e^2x....(V) bulunur.

c = f(x) bulunabilecek şekilde (V) ifadesinin türevleri alınırsa;

du / dx = (dc / dx)·e^2x + c·2e^2x....(VI)

(V) ve (VI) eşitlikleri (IV) denkleminde yerlerine yazılırlarsa;

(dc / dx)·e^2x + c·2e^2x - 2c·u^2x = -2x ⇒ dc / dx = -2x·e^(-2x) ⇒ dc = -2x·[ e^(-2x) ]dx olur ve c = -2∫x·[ e^(-2x) ]dx + k....(VII) ifadesinde;

u1 = x ⇒ du1 = dx, dv1 = [ e^(-2x) ]dx ⇒ v1 = -(1 / 2)e^(-2x) değişken dönüştürmeleriyle kısmi integrasyon uygulanarak devam edilirse (VII) eşitliği;

c = -2{ (-x / 2)e^(-2x) - ∫ [ -(1 / 2)e^(-2x) ]dx } + k

c = x·e^(-2x) - ∫e^(-2x) ]dx + k

c = x·e^(-2x) + (1 / 2)e^(-2x) + k

c = [ (2x + 1) / 2 ]e^(-2x) + k....(VIII) bulunur.

(VIII) değeri (V) eşitliğinde yerine yazılırsa;

u = { [ (2x + 1) / 2 ]e^(-2x) + k }·e^2x

u = (2x + 1) / 2 + k·e^2x

u = (2x + 1 + 2k·e^2x) / 2....(IX) olur.

(IX) değeri de (II) eşitliğinde yerine yazılırsa;

(2x + 1 + 2k·e^2x) / 2 = y^(-2) ve düzenlenirse;

y^2 = 2 / (2x + 1 + 2k·e^2x)

y = ∓√ [ 2 / (2x + 1 + K·e^2x) ]

y = ∓√ [ 2 / (K·e^2x + 2x + 1) ] çözümü bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy' + xy = (x^2)·(y^3)
---
SORU - 4
(x^2)dy + (xy - 2x^2 - 1)dx = 0 birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

dy / dx + (xy - 2x^2 - 1) / x^2 = 0

dy / dx + y / x - (2x^2 + 1) / x^2 = 0

dy / dx + y / x = (2x^2 + 1) / x^2....(I)

y = uv....(II) değişken dönüşümüyle dy / dx = u(dv / dx) + v(du / dx) yazılıp bu değer (I) denkleminde yerine yazılırsa;

u(dv / dx) + v(du / dx) + uv / x = (2x^2 + 1) / x^2

u(dv / dx + v / x) + v(du / dx) = (2x^2 + 1) / x^2....(III) haline gelir ve dv / dx + v / x = 0 olacak şekilde v = f(x) aranırsa;

dv / v + dx / x = 0 ⇒ ln(v) + ln(x) = ln(1) ⇒ v = 1 / x....(IV) bulunarak bu değer (III) eşitliğinde yerine yazılırsa 0 + (1 / x)(du / dx) = (2x^2 + 1) / x^2 ve

buradan du = (2x + 1 / x)dx ⇒ u = x^2 + ln(x) + c....(V) olur.

(IV) ve (V) eşitlikleri (II) numaralı y = uv ifadesinde yerlerine yazılırlarsa y = c / x + x + ln(x) / x çözümü bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2)dy + (xy - 2x^2 - 1)dx = 0
---
SORU - 5
y - x(dy / dx) + (1 / 5)(dy / dx)^2 = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

"Clairaut" denklemi olup genel çözüm için y' = dy / dx = p alınırsa y - xp + p^2 / 5 = 0 ⇒ y = xp - p^2 / 5....(I) ve buradan x değişkenine göre türev alınırsa;

y' = p = p + x(dp / dx) - (2p / 5)(dp / dx)

x(dp / dx) - (2p / 5)(dp / dx) = 0

(dp / dx)(x - 2p / 5) = 0 ⇒ dp / dx = 0 ⇒ dp = 0 ⇒ p = c....(II) ve ayrıca x - 2p / 5 = 0 çarpanından da x = 2p / 5....(III) bulunur.

(II) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılırsa y = cx - c^2 / 5 genel çözümü elde edilir.

(II) ve (III) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılırsa y = (2p / 5)p - p^2 / 5 = p^2 / 5....(IV)

O halde (III) ve (IV) eşitlikleri tekil çözümün parametrik denklemleri olup bunlardan p yok edilirse [ (III) eşitliğinden p = 5x / 2 çekilip (IV) denkleminde yerine yazılıp üzenlenerek ];

y = (25x^2 / 4) / 5 = 5x^2 / 4....(V) şeklinde tekil çözümün kartezyen koordinatlardaki parabol denklemi bulunmuş olur.

WolframAlpha yine tuhaf bir sonuç verdiğinden;
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y - x(dy / dx) + (1 / 5)(dy / dx)^2 = 0

klasik kontrol olarak (V) eşitliğinden türev alınıp problemdeki denklemde yerine yazılırsa;

dy / dx = 10x / 4 = 5x / 2

5x^2 / 5 - x(5x / 2) + (1 / 5)[ (5x / 2)^2 ] =

5x^2 / 4 - 5x^2 / 2 + 5x^2 / 4 =

5x^2 / 2 - 5x^2 / 2 = 0 olduğu görülür.
---
SORU - 6
y[ (1 - x^2)^(1 / 2) ]dy - xdx = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

y√(1 - x^2)dy = xdx

ydy = xdx / √(1 - x^2) şeklinde "Değişkenlerine Ayrılabilir" denklem olup eşitliğin sağ tarafındaki terim için 1 - x^2 = u değişken dönüşümüyle -2xdx = du ⇒ xdx = -du / 2 olup denklem;

ydy = -(1 / 2)du / √u = -(1 / 2)u^(-1 / 2)du ve integraller alınırsa;

y^2 / 2 + c1 = (-1 / 2)u^(1 / 2) / (1 / 2)

y^2 / 2 + c1 = -√(1 - x^2)

y^2 = c - 2√(1 - x^2)

y = ∓[ c - 2√(1 - x^2) ]^0,5 çözümünü WolframAlpha'ya da beğendirebilmek için c = 2K gibi başka bir sabit yazılırsa;

y = ∓(√2)·√[ K - √(1 - x^2) ] bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y( (1 - x^2)^(1 / 2) )dy - xdx = 0
---
SORU - 7
p = dy / dx olmak üzere p^2 - (x + y)sinx + p(x + y - sinx) = 0 yüksek dereceden diferansiyel denkleminin çözümünü bulunuz.

p^2 - xsinx - ysinx + px + py - psinx = 0

y(p - sinx) = psinx + xsinx - px - p^2

y(p - sinx) = (p + x)sinx - p(p + x)

y(p - sinx) = (p + x)(sinx - p)

y(p - sinx) + (p - sinx)(p + x) = 0

(p - sinx)(y + p + x) = 0

p = sinx ⇒ dy = sinxdx ⇒ y = -cosx + c....(I)

y + p + x = 0 ⇒ dy / dx + y = -x....(II) ifadesi 1. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem olup y = uv değişken dönüşümüyle dy / dx = u(dv / dx) + v(du / dx) yazılıp

(II) denkleminde kullanılırsa;

u(dv / dx) + v(du / dx) + uv = -x ⇒ u(dv / dx + v) + v(du / dx) = -x....(III) haline gelir ve dv / dx + v = 0 olacak şekilde v = f(x) aranırsa;

dv / v = -dx ⇒ ln(v) = -x ⇒ v = e^(-x)....(IV) bulunarak bu değer (III) eşitliğinde yerine yazılırsa 0 + [ e^(-x) ](du / dx) = -x eşitliğinden;

du = -x(e^x)dx olup Kısmi İntegrasyonla u = -xe^x + e^x + c = (e^x)(1 - x) + c....(V) bulunur.

(IV) ve (V) eşitlikleri y = uv ifadesinde yerlerine yazılırlarsa;

y = [ (e^x)(1 - x) + c ]·[ e^(-x) ] = 1 - x + c·e^(-x)....(VI)

(I) ve (VI) ile (y + cosx + c)·[y + x - c·e^(-x) - 1] = 0 ve buradan da;

Birinci çarpandan; y + cosx + c = 0 ⇒ y = -c - cosx = c1 - cosx,

İkinci çarpandan; y + x - c·e^(-x) - 1 = 0 ⇒ y = c1·e^(-x) - x + 1 çözümleri bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(dy / dx)^2 - (x + y)*sin(x) + (dy / dx)*(x + y - sin(x)) = 0
---
Soruların asıllarının yedeği: https://s19.postimg.org/ghwoaszb7/7_Diferansiyel_Denklem.png

Rica ederim, iyi çalışmalar.