Çözüldü Diferensiyel ve İntegral Denklem

Cem · 15 Aralık 2011

İktibas. Bir üniversitede öğrencilere verilen ödev sorusu imiş:

Benim zamanımda "İntegral Denklemler" diye bir ders vardı.

Honore · 28 Kasım 2015

Kıymetli Cem Üstadım, şöyle yapmaya çalıştım:

$\frac{dy}{dx}+P(x)\cdot y=Q(x) \text{ lineer denklemi } [P(x)\cdot y-Q(x)]dx+dy=0\text{ haline gelir ve;} \\ \\ M=P(x)\cdot y-Q(x) \text{ ve } N=1 \text{ olarak;} \\ \\ \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=P(x)=\frac{\partial \ln\mu }{\partial x} \\ \\ \ln\mu =\int_{0}^{x}P(x)dx \Rightarrow \mu =e^{\int_{0}^{x}P(x)dx} \text{ bulunur ve bu denklemin bir integrasyon carpanidir. } \\ \\ \text{Denklemin her terimi bu ifadeyle carpilirsa;} \\ \\ e^{\int_{0}^{x}P(x)dx}\cdot \frac{dy}{dx}+e^{\int_{0}^{x}P(x)dx}\cdot P(x)'y=e^{\int_{0}^{x}P(x)dx}\cdot Q(x) \\ \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[y\cdot e^{\int_{0}^{x}P(x)dx}\right]=e^{\int_{0}^{x}P(x)dx}\cdot Q(x) \\ \\ y\cdot e^{\int_{0}^{x}P(x)dx}=\int_{0}^{t}e^{\int_{0}^{x}P(x)dx}\cdot Q(x)dx+c \\ \\ y=e^{-\int_{0}^{x}P(x)}\left[\int_{0}^{t}e^{\int_{0}^{x}P(x)dx}\cdot Q(x)dx+c\right] \\ \\ P(x)=e^{x^2}\Rightarrow P(s)=e^{s^2} \\ \\ Q(t)=\ln{t}\Rightarrow Q(x)=\ln{x}$
$y=e^{-\int_{0}^{x}P(x)}\left[\int_{0}^{t}e^{\int_{0}^{x}P(s)ds}\cdot Q(x)dx+c\right]$

Kaynak:
Yüksek Matematik, Cilt-3, Prof. Ahmet A. Karadeniz, 3. Baskı, 1983, sayfa 29-30

Not: Konuyla ilgilenen öğrenci üyelerin dikkatine: Birinci dereceden lineer denklemler, ayrıca y=uv değişken dönüşümüyle t değiskenine göre türev alınarak veya Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) yöntemiyle de çözülebililir.

Forum	Başlık	Tarih
Zor Sorular (Akademik Problemler Hariç)	Değişkenlerine Ayrılabilir Diferansiyel Denklemde Türev ve İntegral	Çarşamba 17:37
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral	İntegral - Değişim Hızı - Türev	13 Eylül 2026
Zor Sorular (Akademik Problemler Hariç)	Karmaşık Sayılı İntegral - Üstel Sayılarla Çarpma - Trigonometri	8 Eylül 2026
Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat)	Paraboller Arası Alan - İntegral	6 Eylül 2026
Zor Sorular (Akademik Problemler Hariç)	Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu - Trigonometrik İntegral	1 Eylül 2026

Giriş Yap & Kayıt Ol

Çözüldü Diferensiyel ve İntegral Denklem

Cem Yönetici Yönetici

Honore Yönetici Yönetici

Sayfayı Paylaş

Giriş Yap & Kayıt Ol

Çözüldü Diferensiyel ve İntegral Denklem

Cem Yönetici Yönetici

Honore Yönetici Yönetici

Sayfayı Paylaş

Faydalı Aramalar