Çözüldü Doğal Logaritmalı İntegrasyonda Trigonometrik ve Ters Hiperbolik Dönüşüm

∫ ln[ √x + √(1 + x) ] dx = ?

Kısmi integrasyon (Integral By Parts: IBP) uygulanmak üzere;
dx = dv ⇒ v = x
u = ln[ √x + √(1 + x) ] ⇒ du = { 1 / (2√x) + 1 / [ 2√(1 + x) ] }dx / [ √x + √(1 + x) ] = dx / { 2[ √(x + x^2) ] } değişken dönüşümleriyle,
∫ ln[ √x + √(1 + x) ] dx = x·ln[ √x + √(1 + x) ] - (1 / 2)·∫ xdx / √(x + x^2)....(I)
(I) integralindeki ikinci terim için lise bilgileriyle bir çözüm yapılabilmesi için karekök içindeki ifade iki kare farkı şeklinde yazılarak;
∫ xdx / √(x + x^2) = ∫ xdx / √[ (x + 1 / 2)^2 - 1 / 4 ] ifadesinde paydada karekök içindeki terim için x + 1 / 2 = (1 / 2)·secθ
x = (1 / 2)·(secθ - 1)....(II) değişken dönüşümüyle
dx = (1 / 2)·(secθ)·(tanθ)dθ olup integral;
∫ xdx / √(x + x^2) = ∫ (1 / 2)·(secθ - 1)·(1 / 2)·(secθ)·(tanθ)dθ / [ (1 / 2)·tanθ ] =
(1 / 2)·∫ (secθ - 1)·(secθ)dθ =
(1 / 2)·∫ [ (secθ)^2 ] dθ - (1 / 2)·∫ (secθ)dθ =
(1 / 2)·tanθ - (1 / 2)·∫ (secθ)dθ =
(1 / 2)·tanθ - (1 / 2)·ln(secθ + tanθ)

Not1: ∫ (secθ)dθ ifadesindeki integral aşağıdaki kaynakta gösterildiği gibi ln(secθ + tanθ) olarak bulunur.
https://ocw.mit.edu/courses/mathema...secant-and-cotangent/MIT18_01SCF10_Ses71c.pdf

O halde; ∫ xdx / √(x + x^2) = (1 / 2)·[ tanθ - ln(secθ + tanθ) ]....(III) olur.
(II)'den çıkan 2x + 1 = secθ eşitliğine uygun dik üçgenden Pisagor Teoremi ile tanθ = 2√(x^2 + x) olup (III) integrali;
∫ xdx / √(x + x^2) = (1 / 2)·{ 2√(x^2 + x) - ln[ 2x + 1 + 2·√(x^2 + x) ]
∫ xdx / √(x + x^2) = √(x^2 + x) - (1 / 2)·ln[ 2x + 1 + 2·√(x^2 + x) ]
∫ xdx / √(x + x^2) = √(x^2 + x) - (1 / 2)·ln{ [ √x + √(1 + x) ]^2 }
∫ xdx / √(x + x^2) = √(x^2 + x) - (1 / 2)·2·ln[ √x + √(1 + x) ]
∫ xdx / √(x + x^2) = √(x^2 + x) - ln[ √x + √(1 + x) ]
∫ xdx / √(x + x^2) = √(x^2 + x) - arcsinh(√x)....(IV) olur.

Not2: ln[ √x + √(1 + x) ] = arcsinh(√x) eşitliği Lise Matematik programında yok.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsinh(sqrt(x))=

(IV) eşitliği (I)'de götürülerek;
∫ ln[ √x + √(1 + x) ] dx = x·ln[ √x + √(1 + x) ] - (1 / 2)·√(x^2 + x) + (1 / 2)·arcsinh(√x) + C

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ ln[ √x + √(1 + x) ] dx = ?

Doğrudan Ters Hiperbolik Sinüs Fonksiyonuyla Çözüm:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/integr32.png
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1897893p12964166