Çözüldü Dördüncü Derece Denklem

Sayın Şamil Hocamızın başka sitedeki sorularından biri:

4x⁴ - 12x³ - 7x² + 22x + 14 = 0 denkleminin dört reel kökü vardır. Bu köklerden ikisinin toplamı 1 ise tüm kökleri bulunuz.

Kıymetli Şamil Üstadım çarpanlara ayrılmış halini vermişti, ben de çözümü şöyle yapmaya çalıştım:

x1 + x2 + x3 + x4 = -(-12 / 4) = 3
x3 + x4 = 1 ⇒ x1 + x2 = 3 - 1 = 2
4. derece denklem (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) şeklinde iki 2. derece denklemin çarpımı olarak yazılabileceğinden;
-b / a = 2 ⇒ b = -2a....(0) ve -e / d = 1 ⇒ e = -d değerleri 2. derece denklemlerde yerlerine konursa;
(ax^2 - 2ax + c)(dx^2 - dx + f) =
adx^4 - adx^3 + afx^2 - 2adx^3 + 2adx^2 - 2afx + cdx^2 - cdx + cf =
adx^4 - 3adx^3 + (af + 2ad + cd)x^2 - (2af + cd)x + cf olup problemdeki 4. derece denklemle karşılaştırılırsa Belirsiz Katsayılar (Undetermined Coefficients) Kuralı ile;
ad = 4 ⇒ d = 4 / a....(I)
af + 2ad + cd = -7 ⇒ af + cd = -15....(II)
2af + cd = -22....(III)
(II) ve (III) denklemlerinden;
af = -7 ⇒ f = -7 / a....(IV),
cd = -8 ⇒ c = -8 / d ve (I) eşitliği burada yerine yazılırsa c = -2a....(V)
e = -d = -4 / a....(VI)
b, c, d, e, f katsayılarının a cinsinden eşdeğerleri sırasıyla (0), (V), (I), (VI), (IV) eşitliklerinden alınıp 2. derece denklemlerde yerlerine yazılırlarsa;
(ax^2 - 2ax - 2a)(4x^2 / a - 4x / a - 7 / a) = 0
a(x^2 - 2x - 2)(1 / a)(4x^2 - 4x - 7) = 0
(x^2 - 2x - 2)(4x^2 - 4x - 7) = 0

İkinci derece denklem formülüyle de kökler;
x1 = 1 - √3
x2 = 1 + √3
x3 = 0,5 - √2
x4 = 0,5 + √2

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x⁴-12x³-7x²+22x+14=0