Çözüldü Dördüncü Mertebe (Fourth Order) Differential Equation - Kosinüs Hiperbolik Fonksiyonu

y'''' - 16y = 2cosh(2x) Diferansiyel Denkleminin Çözümü:

https://www.facebook.com/photo?fbid=863258691121441&set=pcb.3900173383382849

y' = dy / dx = r ⇒ r^4 - 16 = 0 ⇒ (r^2 - 4)(r^2 + 4) = 0 ⇒ r1 = -2, r2 = 2, r3 = 0 - 2i, r4 = 0 + 2i
C1, C2, C3, C4 ∈ R
Homojen (Sağ Tarafsız) Çözüm: yh(x) = C1·[ e^(-2x) ] + C2·[ e^(2x) ] + [ e^(0·x) ]·[ C3·cos(2x) + C4·sin(2x) ]
yh(x) = C1·[ e^(-2x) ] + C2·[ e^(2x) ] + C3·cos(2x) + C4·sin(2x)....(I)

Cosh(2x) = (1 / 2)·[ e^(2x) ] - (1 / 2)·[ e^(-2x) ]
https://www.mathsisfun.com/sets/function-hyperbolic.html

2·Cosh(2x) = e^(2x) - e^(-2x)
A, B ∈ R
Karakteristik denklemin köklerinden olan 2, sağ taraftaki e^(2x) fonksiyonunda üstel katsayı olduğundan sağ taraflı birinci özel (particular) çözüm:
yp1(x) = A·x·e^(2x) olup türev fonksiyonları (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
y' = A·e^(2x) + 2A·x·e^(2x)
y'' = 4A·e^(2x) + 4A·x·e^(2x)
y''' = 12A·e^(2x) + 8A·x·e^(2x)
y'''' = 32A·e^(2x) + 16A·x·e^(2x)
Dördüncü türev fonksiyonuyla özel çözüm fonksiyonu denklemdeki yerlerine yazılıp sağ taraftaki birinci terim olan e^(2x) ifadesine eşitlenirse; 32A·e^(2x) + 16A·x·e^(2x) - 16A·x·e^(2x) = e^(2x) ⇒ A = 1 / 32 ⇒ yp1(x) = (x / 32)·e^(2x)....(II)

Karakteristik denklemin köklerinden olan -2, sağ taraftaki e^(-2x) fonksiyonunda üstel katsayı olduğundan sağ taraflı ikinci özel çözüm:
yp2(x) = B·x·e^(-2x) olup türev fonksiyonları (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
y' = B·e^(-2x) - 2B·x·e^(-2x)
y'' = -4B·e^(-2x) + 4B·x·e^(-2x)
y''' = 12B·e^(-2x) - 8B·x·e^(-2x)
y'''' = -32B·e^(-2x) + 16B·x·e^(-2x)
Dördüncü türev fonksiyonuyla özel çözüm fonksiyonu denklemdeki yerlerine yazılıp sağ taraftaki ikinci terim olan e^(-2x) ifadesine eşitlenirse; -32B·e^(-2x) + 16B·x·e^(-2x) - 16B·x·e^(-2x) = e^(-2x) ⇒ B = -1 / 32 ⇒ yp2(x) = -(x / 32)·e^(2x)....(III)

(I), (II), (III) toplanarak tam genel çözüm;
y(x) = C1·[ e^(-2x) ] + C2·[ e^(2x) ] + C3·cos(2x) + C4·sin(2x) + (x / 32)·e^(2x) - (x / 32)·e^(-2x)

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'''' - 16y = 2cosh(2x)