Çözüldü Düzgün Beşgende Üçgen Çevreleri - Trigonometri

https://i.ibb.co/6NcXrRw/be-gen.png
https://www.facebook.com/photo?fbid=4196684427060011&set=gm.2286297478174449
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

[AC] ∩ [BE] = {F}
[DF[ ∩ [AB] = {H}
Düzgün beşgende iç açıların değeri (5 - 2)·180° / 5 = 108°
Simetri nedeniyle ∡EAD = ∡DAF = ∡FAB = 108° / 3 = 36°
∡AFB = 180° - 2·36° = 108°
ΔABF İkizkenar, |AF| = |BF|
Düzgün beşgende kenar uzunluğu: a birim
ΔABF için Sinüs Teoremi ile a / sin(108°) = |AF| / sin(36°) ⇒ |AF| = |BF| = [ a·sin(36°) ] / sin(108°)....(I)
ΔABD ikizkenar, |AD| = |BD|
AHD dik üçgeninde |AH| = a / 2 ve cos(36° + 36°) = (a / 2) / |AD| ⇒ |AD| = |BD| = a / [ 2·cos(72°) ]....(II)
(I) ve (II) eşitlikleri kullanılarak Yeşil Bölge Çevresi = 2·{ a / [ 2·cos(72°) ] } + 2·{ [ a·sin(36°) ] / sin(108°) } =
a·{ 1 / sin(18°) + [ 2·sin(36°) ] / sin(108°) }....(III)
Turuncu Bölge Çevresi = 5a·{ [ 2·sin(36°) ] / sin(108°) + 1 }....(IV)
(III) ve (IV) taraf tarafa bölünerek sin(108°) = sin(72°) = 2·sin(36°)·cos(36°) yazılıp sadeleştirilirse;
(1 / 5)·[ cos(36°) + sin(18°) ] / { [ sin(18°) ]·[ cos(36°) + 1 ] }....(V)
cos(36°) = (1 + √5) / 4 ve sin(18°) = (-1 + √5) / 4 değerleri (V)'teki yerlerine yazılırsa;
(1 / 5)·[ (√5) / 2 ] / { [ (-1 + √5) / 4 ]·[ (1 + √5) / 4 + 1 ] } =
(1 / 5)·(8√5) / [ (-1 + √5)·(1 + √5)·√5 ] =
(1 / 5)·8 / 4 =
2 / 5.