Çözüldü Elipste Çap ve Kiriş

Bir kitaptaki çözümlü sorunun fen lisesi için test uyarlaması:

Odakları (∓c, 0), asal ve yedek eksen uzunlukları 2a ve 2b olarak b^2·x^2 + a^2·y^2 = a^2·b^2 denklemiyle bilinen merkezil bir elipste apsisler ekseniyle pozitif yönde θ açısını yapan kirişinin uzunluğu
2·a·b^2 / { [ a·sin(θ) ]^2 + [ b·cos(θ) ]^2 } olduğuna göre asal eksenin dışındaki herhangi bir çapının uzunluğunun karesinin o çapa paralel olarak odaktan geçen kirişinin uzunluğuna oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) Elipsin alanına
B) Odaklar arası uzunluğa
C) Yedek (küçük) eksen uzunluğuna
D) Asal (büyük) eksen uzunluğuna
E) Eksantrisiteye

O orijininden, üzerindeki D ve D' noktalarından geçen DOD' çapına paralel olarak F odağı ile yine üzerindeki M ve M' noktalarından geçen MFM' kirişi çizilince DD' çapının x ekseniyle yaptığı açı θ ve D (x, y) ise x = |DO|·cos(θ), y = |DO|·sin(θ) eşitlikleri elips denklemindeki yerlerine yazıldığında,
|DO|^2·{ [ cos(θ) ]^2 / a^2 + [ sin(θ) ]^2 / b^2 } = 1
|DO|^2 = a^2·b^2 / { a^2·[ sin(θ) ]^2 + b^2·[ cos(θ) ]^2 }
{ |DD'| / 2 }^2 = a^2·b^2 / { a^2·[ sin(θ) ]^2 + b^2·[ cos(θ) ]^2 }
|DD'|^2 = 4·a^2·b^2 / { a^2·[ sin(θ) ]^2 + b^2·[ cos(θ) ]^2 }....(I)
|MM'| = 2·a·b^2 / { a^2·[ sin(θ) ]^2 + b^2·[ cos(θ) ]^2 }....(II)
(I) ve (II) taraf tarafa bölününce |DD'|^2 / |MM'| = 2a ===> D seçeneği.

Kaynak: "Lise III Fen Kolu İçin Çözümlü Modern Geometri Problemleri, Konikler, Sentetik - Analitik, Elips", Ahmet Erdem, Ankara Atatürk Lisesi ve Zafer Mühendislik - Mimarlık Yüksek Okulu Matematik Öğretmeni, 3. Baskı, 1969, Sayfa 42, Soru 37