Çözüldü Euler Homojen Tip Denklemin Önce Bernoulli Sonra Sabit Katsayılı Lineer Denkleme İndirgenerek Çözümü

Michigan State University'den çözümlü bir sorunun daha uzun çözümü (Yalnız zamanı olan meraklı öğrenciler için):

y' = [ t·(y + 1) + (y + 1)^2 ] / (t^2)

t·y' = y + 1 + [ (y + 1)^2 / t ]
t = e^x....(I) ⇒ dt / dy = (dx / dy)·(e^x) ⇒ dy / dt = y' = (dy / dx)·[ e^(-x) ] değişken dönüşümüyle;
(e^x)·{ (dy / dx)·[ e^(-x) ] } = y + 1 + [ (y + 1)^2 ]·[ e^(-x) ]
dy / dx = (y + 1) + [ (y + 1)^2 ]·[ e^(-x) ]....(II)
y + 1 = u·[ e^(-x) ]....(III) ⇒ dy / dx = u'·[ e^(-x) ] - u·[ e^(-x) ] değişken dönüşümüyle (II) denklemi;
u'·[ e^(-x) ] - u·[ e^(-x) ] = u·[ e^(-x) ] + { (u^2)·[ e^(-2x) ] }·[ e^(-x) ]
u' - 2u = (u^2)·[ e^(-2x) ] Bernoulli Denklemine dönerek düzenlenirse,
[ u^(-2) ]·(du / dx) - 2·[ u^(-1) ] = e^(-2x)
p = u^(-1)....(III) ⇒ -dp / dx = [ u^(-2) ]·(du / dx) değişken dönüşümüyle;
dp / dx + 2p = -e^(-2x) şeklinde Birinci Derece Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem haline getirilerek çözülürse;
p(x) = [ e^(-2x) ]·(C1 - x)....(IV)
(IV) eşitliği (III)'teki yerine yazılıp u^(-1) = [ e^(-2x) ]·(C1 - x)
u = [ e^(2x) ] / (C1 - x) eşitliğinin iki tarafı e^(-x) ile çarpılarak;
u·[ e^(-x) ] = (e^x) / (C1 - x)....(V)
(V) ve (III) eşitliklerinden y + 1 = (e^x) / (C1 - x)
y = [ (e^x) / (C1 - x) ] - 1....(VI)
Son olarak t değişkenine geri dönülüp (I) eşitliğinden ln(t) = x
y(t) = t / [ C1 - ln(t) ] - 1
y(t) = t / [ -C - ln(t) ] - 1
y(t) = -t / [ C + ln(t) ] - 1

Orijinal Çözüm:

https://i.ibb.co/JHPJ9f6/Euler.png
https://users.math.msu.edu/users/gnagy/teaching/ode.pdf
[ Sayfa 33 - 34, (pdf dosyada 41 - 42), Örnek 1.3.14 ]