Çözüldü Fonksiyonlar Arası En Kısa Uzaklık

Her iki hiperbolün ortak normal denkleminin hiperbolleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık, yani birbirine paralel teğetlerinin arasındaki uzaklık, minimumdur.

f '(x) = 4 / (x + 2)^2
g '(x) = 4 / (1 - x)^2

g(x) hiperbolünün x eksenini kestiği nokta (-1, 0) ve bu noktadaki teğetinin eğimi g '(-1) = 4 / [1 - (-1) ]^2 = 1 yani teğetinin denklemi de x ekseniyle 45 derecelik açı yapan y = x + 1 doğrusu ve bu noktadaki normalinin denklemi de y - 0 = -1·[ x - (-1) ] = -x - 1 olur.
y = -x - 1 doğrusuyla (normaliyle) f(x) hiperbolü de -x - 1 = (x - 2) / (x + 2) denkleminin çözümünden x = 0 ve x = -4 noktalarında kesişir.
x = 0 için f(x) hiperbolü y eksenini -1 noktasında kestiğinden f(x) hiperbolünün bu noktadaki teğetinin de x eksenine göre 45 derecelik açıyla ve y = x + 1 teğetine paralel olduğu gösterilirse bu iki teğet aarasındaki uzaklık aranan en kısa uzaklıktır.
Gerçekten de, f '(0) = 4 / 4 = 1 olduğundan denklemi y - (-1) = 1·(x - 0) = x + 1 olan teğet bu şartı sağlamaktadır.
O halde aranan minimum uzunluk (-1, 0) ile (0, -1) noktaları arasındaki (1^2 + 1^2)^0,5 = √2 birim.

Grafik:

https://i.ibb.co/5xgGDYVy/hiperboller.png