Çözüldü Hiperbol - Doğrunun ve Noktanın Analitiği - Türev

Piyasadaki sorulardan birinin AYT için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

k ∈ R olmak üzere y = f(x) = ∓k / x hiperbollerinin orijine en yakın noktalarının oluşturduğu kapalı alan kaç birim karedir?

A) k^2
B) k / 2
C) 2k
D) 4k
E) k + 2

f(x) = k / x hiperbolünün orijine en yakın noktası P(a, k / a) ise bu noktadaki teğetin eğimi f '(a) = -k / (a^2) ve normalin
denklemi y - k / a = (a^2 / k )(x - a) olup, teğete dik olan normal orijinden geçeceği için 0 - k / a = (a^2 / k)·(0 - a) ⇒ a = ∓√k olur.

Not: Alternatif olarak türevle de bulunabilir: P noktasının orijine uzaklığı |OP| = f(a) = [ (a - 0)^2 + (k / a - 0)^2 ]^0,5
f '(a) = 0,5·{ 2a + 2(k / a)[ -k / (a^2) ] } = 0 ⇒ a^4 = k^2 ⇒ a = ∓√k ⇒ f(∓√k) = ∓√k

P noktaları birinci ve ikinci açıortay, yani y = x ve y = -x doğruları üzerindedirler.

Orijine göre simetri nedeniyle;
y = f(x) = k / x hiperbolünün orijine en yakın iki noktası P(√k, √k) ve P1(-√k, -√k)
y = g(x) = -k / x hiperbolünün orijine en yakın iki noktası P2(-√k, √k) ve P3(√k, -√k)
PP1P2P3 karesinin alanı: (2√k)(2√k) = 4k birim^2

k = 6 için Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/hiperb19.png

Sorunun Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/hiperb20.png
https://www.facebook.com/photo?fbid=2556081781351075&set=gm.4330191606996171