Çözüldü Hiperbolik Fonksiyonlarda Tanım ve İspat (2 Soru)

Forumda yanlış konu başlığıyla ilgisiz bölüme gönderilmişti.

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/hiperb15.png

a)
Bir damlacık araştırma ilgisi olsa yığınla ispat bulunabilir. Mesela bir tanesi şöyle;

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/hiperb17.png
http://www.stumblingrobot.com/2015/11/17/prove-a-formula-for-sinhxy/

b)
arcsinh(x) = y
x = sinh(y) = [ e^y - e^(-y) ] / 2
e^y - 2x - e^(-y) = 0 eşitliğinin terimleri e^y ile çarpılırsa;
e^(2y) - 2x·(e^y) - 1 = 0
1·(e^y)^2 - 2x·(e^y) - 1 = 0 ikinci derece denklemi yarım diskriminatla çözülürse e^y = { x ∓ [ (x^2 + 1) ]^0,5 } / 1 = x ∓ √(x^2 + 1)
e^y > 0 ve x - √(x^2 + 1) < 0 eşitsizlikleri çeliştiğinden e^y = x + √(x^2 + 1) olup e tabanına göre logaritma alınırsa;
y = ln[ x + √(x^2 + 1) ]
arcsinh(x) = ln[ x + √(x^2 + 1) ]

Kaynak: "Calculus, 5e", Prof.Dr. James Stewart, McMaster University, 2003, sayfa 489 - 490

Not: Bir zahmet aranırsa başka ispatlar da kolayca bulunabilir, örneğin;
https://math.stackexchange.com/questions/1250881/show-that-sinh-1x-lnx-sqrtx2-1