Çözüldü İki Ortalamanın İstatistiksel Analizi-Küçük Örnek (Student t) Dağılımıyla Hipotez Testi-Programlama

Etki süreleri karşılaştırılmak istenen iki ilaç, önce biri ve sonra diğeri olmak üzere ayni kişilere verilerek ağrıyı durdurmada etkili oldukları süreler ölçülmüştür. Denemenin kurulmasında ilaçların etki sürelerinin birbiri içine girmemesi, hastaların hangi ilacı aldığını bilmemesi gibi bazı deneme kurallarına dikkat edilmiştir. 8 Hasta için bulunan sonuçlar aşağıda gösterilmiştir:

Kod:

 Hasta               A Ağrı Kesici              B Ağrı Kesici      fark: d = B - A
   1                      3.2                        3.8                  0.6
   2                      1.6                        1.0                 -0.6
   3                      5.7                        8.4                  2.7
   4                      2.8                        3.6                  0.8
   5                      5.5                        5.0                 -0.5
   6                      1.2                        3.5                  2.3
   7                      6.1                        7.3                  1.2
   8                      2.9                        4.8                  1.9

---------------------------------------------------------------------------------------
Ortalama                  3.62                       4.67                 1.05

Bu iki ilacın etki süreleri arasında istatistiksel yönden anlamlı bir fark olup olmadığını 0.05 yanılma olasılığıyla test ediniz.

İncelenen iki ilaçtan, B ilacının, A ilacının bileşiminde etkinliği artırmak amacıyla yapılan bir değişiklik sonucunda elde edildiği varsayılarak ağrıyı hafifletme sürelerinin ortalamaları arasında;
H0 : µA - µB = 0 sıfır hipotezine karşı,
H1 : µA - µB > 0 alternatif hipotezinin test edilmesi gerekir.

Denemede eşleştirilmiş gözlemler kullanıldığından n adet hasta sayısına bağlı olarak d(n) = B(n) - A(n) olarak tanımlanan yeni bir değişken için yukarıdaki hipotezler;
H0 : µd = 0
H1 : µd > 0
şekline dönüşür ve bu hipotezi test etmek için µd ve σd aşağıdaki gibi tahminlenir:
d' = Σd(n) / n = 8.4 / 8 = 1.05
(σd)^2'nin tahmini ise (sd)^2 = ( Σ(d(n))^2 - Σd(n) ) / (n - 1) = (19.24 - 8.4^2 / 8) / (8 - 1) = 1.488
d' için varyans (s_d')^2 = (sd)^2 / n = 1.488 / 8 = 0.186
Farkın standart hatası ise s_d' = √0.186 = 0.4314
Test istatistiği: t = (d' - 0) / s_d' = 1.05 / 0.4314 = 2.434
H0 sıfır hipotezi doğru olduğunda, bu şekilde gösterilen t test istatistiği n - 1 = 8 - 1 = 7 serbestlik dereceli t dağılışı gösterir. α = 0.05 alındığında t tablosundan bakılan kritik değer 1.895 olup 2.434 > 1.895 olduğundan red bölgesine düşer ve H0 hipotezi reddedilir. B ağrı kesicisi, A ağrı kesicisine oranla daha uzun sürede ağrıyı kesmektedir.

Kaynak: "İstatistiğe Giriş", Doç.Dr. Halis Püskülcü, Doç.Dr. Fikret İkiz, Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Bilgisayar Bilimleri Mühendisliği Bölümü, 1986, Sayfa 181 - 183'deki örnek

Bilgisayar programlamayla ilgilenen öğrenciler için Fortran çözümü:

https://i.ibb.co/CKLrPJV4/iki-ila-Fortran.png

Program:

Kod:

! "Basic Programlama ve İstatistiksel Yöntemler", Dr. Osman Saraçbaşı, Dr. Ergun Karaağaoğlu, Dr. Osman Saka
! Hacettepe Üniversitesi, TIP Fakültesi, Biyoistatistik Bilim Dalı Öğretim Görevlileri" tarafından yazlmış Eylül 1986
! tarihli kitabın 203 - 205 no.lu sayfalarında gösterilen Basic dilindeki programın GOTO ve GOSUB deyimleri kaldırılıp
! olabildiğince yapısallaştırıldıktan sonra gerekli açıklamaları da verilerek yazılmış Fortran versiyonu
!
! İki Ortalamanın Karşılaştırılması (Eşleştirilebilen Örnekler) İçin Küçük Örnek Testi
!
! Etki süreleri karşılaştırılmak istenen iki ilaç, önce biri ve sonra diğeri olmak üzere ayni kişilere verilerek
! ağrıyı durdurmada etkili oldukları süreler ölçülmüştür. Denemenin kurulmasında ilaçların etki sürelerinin
! birbiri içine girmemesi, hastaların hangi ilacı aldığını bilmemesi gibi bazı deneme kurallarına dikkat edilmiştir.
! 8 Hasta için bulunan sonuçlar aşağıda gösterilmiştir:
!
! Hasta                A Ağrı Kesici              B Ağrı Kesici      fark: d = B - A
!    1                      3.2                        3.8                  0.6
!    2                      1.6                        1.0                 -0.6
!    3                      5.7                        8.4                  2.7                       
!    4                      2.8                        3.6                  0.8
!    5                      5.5                        5.0                 -0.5
!    6                      1.2                        3.5                  2.3
!    7                      6.1                        7.3                  1.2
!    8                      2.9                        4.8                  1.9
!---------------------------------------------------------------------------------------
! Ortalama                  3.62                       4.67                 1.05
!
! Bu iki ilacın etki süreleri arasında istatistiksel yönden anlamlı bir fark olup olmadığını 0.05 yanılma olasılığıyla test ediniz.
!
! "İstatistiğe Giriş", Doç.Dr. Halis Püskülcü, Doç.Dr. Fikret İkiz, Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
! Bilgisayar Bilimleri Mühendisliği Bölümü, 1986, Sayfa 181 - 183'deki örnek

! İki Ortalama Arasındaki Farkın Anlamlılık Testi
program t_dagilimi
implicit none
integer         :: N = 8                      ! Örnek Sayısı
integer         :: SD, k                      ! Serbestlik Derecesi ve Yardımcı Değişken
real(kind = 8)  :: XA(8) = (/3.2, 1.6, 5.7, 2.8, 5.5, 1.2, 6.1, 2.9/) ! A ilacının ağrıyı kesme süreleri
real(kind = 8)  :: XB(8) = (/3.8, 1.0, 8.4, 3.6, 5.0, 3.5, 7.3, 4.8/) ! B ilacının ağrıyı kesme süreleri
real(kind = 8)  :: XF(8), X_F                 ! Farklar ve toplamı
real(kind = 8)  :: d                          ! Farklarin ortalamasi 
real(kind = 8)  :: di_kare(8)                 ! Farklarin kareleri
real(kind = 8)  :: sd_kare                    ! Farklarin varyansi
real(kind = 8)  :: SH                         ! Farkların Standart Hatası
real(kind = 8)  :: TI                         ! Test İstatistiği
real(kind = 8)  :: t0                         ! ABS(TI) (Test istatistiğinin mutlak değeri)
real(kind = 8)  :: p                          ! Hesaplanan olasılık
real(kind = 8)  :: tD                         ! t Dağılımı fonksiyonuyla hesaplanan değer
real, parameter :: t_Tablo = 1.895            ! α = 0.05 ve 8 - 1 = 7 Serbestlik Derecesi için t tablo değeri

SD = N - 1; XF = XB - XA; X_F = SUM(XF); d = X_F / N

di_kare = XF**2; sd_kare = ( SUM(di_kare) - (SUM(XF))**2 / N ) / SD

SH = SQRT( sd_kare / N ); TI = d / SH

t0 = ABS(TI); k = SD

p = tD(t0, k)

write(6, 20)"Farklarin Ortalamasi: ",d
write(6, 20)"Farklarin Standart Hatasi (Dakika) = ", SH
write(6, 20)"Hesaplanan Test Istatistigi = ", TI
write(6, 10)"Serbestlik Derecesi: ",SD
write(6, 20)"P Olasiligi (Tek Yonlu) = ", 1 - p
write(6, 20)"P Olasiligi (Iki Yonlu) = ", 2*(1 - p )

if (t0 > t_Tablo) then
   write(6, 25)"H0 hipotezi reddedilir cunku B ilaci, A'ya gore daha uzun surede"
   write(6, 25)"agriyi kesmektedir."
else  
   write(6, 25)"H0 hipotezi reddedilemez çünkü iki ilacin agriyi kesme &
& süreleri arasinda istatistiksel bakimdan anlamli bir fark yoktur."
endif

10 format(/,3x,a, i2,/)
20 format(3x,a,f11.6,/)
25 format(/,3x,a)

end
! t Dağılım Fonksiyonu
real(kind = 8) function tD(t0, k)
implicit none
integer, intent(in)        :: k
real(kind = 8), intent(in) :: t0
real(kind = 8)             :: a1 = 0.36338023 ! Kitaptaki programda verilen ve sebebi yazılmamış olan sabit değer
real(kind = 8)             :: w, s, c, t1, t, p
integer                    :: w1, j1, j2, k2, i

w = ATAN(t0 / SQRT(REAL(k))); s = SIN(w); c = cos(w); w1 = k - 2*INT(k / 2)

if (w1 == 0) then
   t1 = s

   if (k == 2) then
      p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   else    
      t = s; j1 = -1; j2 = 0; k2 = (k - 2) / 2
      do i = 1, k2
         j1 = j1 + 2; j2 = j2 + 2
         t = t*c**2*REAL(j1) / j2; t1 = t1 + t
      enddo
      t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   endif

else
   t1 = w
  
   if (k == 1) then
      t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   else
      t = s*c; t1 = t1 + t
      if (k == 3) then
         t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
      else
         j1 = 0; j2 = 1; k2 = (k - 3) / 2
         do i = 1, k2
            j1 = j1 + 2; j2 = j2 + 2
            t = t*c**2*REAL(j1) / j2; t1 = t1 + t
         enddo
         t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
      endif
   endif 
 
endif

end function