Çözüldü İkinci Derece Denklemde Katsayılar ve Kökler

https://i.ibb.co/wKps7sP/denklem.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=558706738954009&set=gm.2566380160166178
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

4a^2 + b^2 - 4ac = 0....(1)
P(x) + P '(x) = ax^2 + bx + c + 2ax + b = ax^2 + (2a + b)x + b + c = 0 denkleminde çözüm kümesinin gerçel sayılarda tek elemanlı olabilmesi için diskriminant Δ = 4a^2 - 4ab + b^2 - 4(-a)(b - c) = 0 eşitliği açılıp düzenlenirse (1) bağıntısı çıkar ver bu nedenle (I) doğrudur.

P '(x) - P(x) = 2ax + b - ax^2 - bx - c = 0 ⇒ ax^2 + (b - 2a)x + c - b = 0 denkleminde çözüm kümesinin gerçel sayılarda tek elemanlı olabilmesi için yine diskriminant Δ = (b - 2a)^2 - 4a(c - b) = 0 eşitliği açılıp düzenlenirse (1) eşitliği bulunacağından (II) de doğru.

(I) ve (II) öncüllerinin beraberce doğru olduğu seçeneklerde (III) olmadığından onun yanlışlığı kontrol edilmeye gerek kalmadan kesinleştiği için doğru yanıt D (I ve II).

Not: Zaman olan ve ilgilenen öğrenciler (III) önermesini incelerlerse Δ = (1 - 4a)(b^2 - 4ac) diskriminantına göre çözüm kümesinin gerçel sayılarda boş küme olabilmesi yani (III)'ün doğru olabilmesi için (1 - 4a)(b^2 - 4ac) < 0 eşitsizliğinin sağlanmasının a < 0 ve c > 0 için mümkün olamayacağı görülür, yani III'ün doğruluğu kesin olmayıp ve a < 0 ve c > 0 şartlarına bağlıdır.