Çözüldü İkinci Mertebeden Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklem - Lineer Bağımsızlık (2 Soru)

Soru - 1
y'' + y = 3sin2x....(0)
A, B, C1, C2 ∈ R olmak üzere;
Karakteristik (Auxiliary) Denklem: r^2 + 1 = 0 ⇒ r = 0 ∓ 1·i
Sağ Tarafsız Homojen Çözüm: yh = [ e^(0·x) ]·[ C1·cos(1·x) + C2·sin(1·x) ] = C1·cosx + C2·sinx....(I)
Sağ Taraflı Özel (Particular) Çözüm: Karakteristik denklemin imajiner kısmının katsayısı olan 1 sayısı sin2x fonksiyonundaki argümandan (2) farklı olduğu için;
yp = A·cos2x + B·sin2x....(II)
yp' = -2A·sin2x + 2B·cos2x
yp'' = -4A·cos2x - 4B·sin2x....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri (0) denklemindeki yerlerine yazılırsa; -4A·cos2x - 4B·sin2x + A·cos2x + B·sin2x = 3sin2x
-3A·cos2x - 3B·sin2x = 3·sin2x eşitliğinde Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined Coefficients Rule) gereğince;
-3A = 0 ⇒ A = 0, -3B = 3 ⇒ B = -1 olup (II) özel çözümü;
yp = -sin2x....(IV)
Tam çözüm de (I) ve (IV) toplanarak yh + yp = y = C1·cosx + C2·sinx - sin2x olur.

WolframAlpha Çözümü: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+y=3sin(2x)
---
Soru - 2
Wronskian Determinatı -2 ≠ 0 olduğundan fonksiyonlar lineer bağımsızdır.

https://i.ibb.co/MNyKBHy/Wronskian.png

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Wronskian[{2, sin(x), cos(x)}, x]

Kaynak: https://math.berkeley.edu/~lindsey/math54_linear_independence_wronskian
---
Soruların Yedeği: https://i.ibb.co/xXZmJqQ/2-Soru.jpg