Çözüldü İkizkenar Üçgende Açı - Trigonometri

https://i.ibb.co/7JXNhpr/gen.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=4889637564489314&set=gm.1565792387132602
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10159693966503798&set=p.10159693966503798&type=3 (Sentetik çözüm)

Sadece trigonometri meraklısı ve zamanı olan öğrencilere;

∡ACB = ∡ABC = θ
∡DCB = ∡BDC = θ - 30°
∡FEC = 180° - 110° - 30° = 40°
∡FBC = 180° - 40° - θ = 140° - θ
∡DBF = θ - (140° - θ) = 2θ - 140°
∡DBF = 180° - (θ - 30°) - 110° = 100° - θ
2θ - 140° = 100° - θ ⇒ θ = 80°
∡DEB = β = x - ∡DBF = x - (2θ - 140°) = x + 140° - 2θ
∡A = 180 - 2·80° = 20°
β + 40° = x + 20° ⇒ β = x - 20°
∡CDE = 180° - (180° - 110°) - β = 110° - β = 110° - (x - 20°) = 130° - x
ΔACD için Sinüs Teoremi ile |CD| / sin(20°) = |AC| / sin(130° - x + x) ⇒ |CD| = [ sin(20°) / sin(50°) ]·|AC|....(I)
ΔBCD için Sinüs Teoremi ile |CD| / sin(80°) = |BD| / sin(80° - 30°) ⇒ |CD| = [ sin(80°) / sin(50°) ]·|BD|....(II)
(I) ve (II) eşitliklerinden sadeleştirme de yapılarak (aradaki basit işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
|AC| = |BD| / [ 2·sin(10°) ]
|BD| = |BC| = a birim
|AC| = a / [ 2·sin(10°) ] = a·[ cos(60°) / sin(10°) ]....(III)
|AD| = |AB| - a = |AC| - a = a·[ cos(60°) / sin(10°) ] - a....(IV)
∡FBC = 140° - 80° = 60°
ΔBCE için Sinüs Teoremi ile |CE| / sin(60°) = a / sin(40°) ⇒ |CE| = [ sin(60°) / sin(40°) ]·a....(V)
|AE| = |AC| - |CE| eşitliğinin sağ tarafında (III) ve (V) eşitlikleri yazılıp,
|AE| = a·[ cos(60°) / sin(10°) ] - [ sin(60°) / sin(40°) ]·a = a·[ cos(60°) / sin(10°) - sin(60°) / sin(40°) ]....(VI)
ΔCDE için Sinüs Teoremi ile |DE| / sin(30°) = |CE| / sin(130° - x) ⇒ |DE| = [ sin(30°) / sin(130° - x) ]·|CE| eşitliğinin sağ tarafında (V) kullanılırsa,
|DE| = [ sin(30°) / sin(130° - x) ]·[ sin(60°) / sin(40°) ]·a....(VII)
ΔADE için Sinüs Teoremi ile |AE| / sin(x) = |DE| / sin(∡A) eşitliğine (VI) ve (VII) eşitlikleriyle ∡A = 20° değeri taşınıp "a" terimleri sadeleştirilerek,
[ cos(60°) / sin(10°) - sin(60°) / sin(40°) ] / sin(x) = { [ sin(30°) / sin(130° - x) ]·[ sin(60°) / sin(40°) ] } / sin(20°)
[ cos(60°)·sin(40°) - sin(60°)·sin(10°) ] / [ sin(x)·sin(10°)·sin(40°) ] = [ sin(30°)·sin(60°) ] / [ sin(20°)·sin(40°)·sin(130° - x) ]
[ cos(60°)·sin(40°) - sin(60°)·sin(10°) ]·sin(20°) / [ sin(10°)·sin(30°)·sin(60°) ] = sin(x) / sin(130° - x)
[ cos(60°)·sin(40°) - sin(60°)·sin(10°) ]·2·sin(10°)·cos(10°) / [ sin(10°)·sin(30°)·sin(60°) ] = sin(x) / sin(130° - x)
(4 / √3)·cos(10°)·[ sin(40°) - (√3)·sin(10°) ] = tan(x) / [ cos(50°)·tan(x) + sin(50°) ]....(VIII)
y = (4 / √3)·cos(10°)·[ sin(40°) - (√3)·sin(10°) ]....(IX)
(IX) eşitliği (VIII)'de sol taraftaki yerine yazılıp düzenlenirse,
y·cos(50°)·tan(x) + y·sin(50°) = tan(x)
tan(x) = y·sin(50) / [ 1 - y·cos(50°) ]....(X)
(IX) eşitliği sadeleştirilirse;
y = 4·tan(30°)·cos(10°)·[ sin(40°) - (√3)·sin(10°) ]
y = 4·tan(30°)·cos(10°)·sin(40°) - 4·sin(10°)·cos(10°)
y = 4·tan(30°)·cos(10°)·2·sin(20°)·cos(20°) - 2·sin(20°)
y = 2·sin(20°)·{ 4·[ sin(30°) / cos(30°) ]·cos(10°)·cos(20°) - 1 }
y = 2·sin(20°)·[ 2·cos(10°)·cos(20°) / cos(30°) - 1 ]
y = 2·[ sin(20°) / cos(30°) ]·[ 2·cos(10°)·cos(20°) - cos(30°) ]
y = 2·[ sin(20°) / cos(30°) ]·[ cos(30°) + cos(10°) - cos(30°) ]
y = 2·sin(20°)·cos(10°) / cos(30°)....(XI)
(XI) eşitliği (X)'daki yerine götürülüp,
tan(x) = [ 2·sin(20°)·cos(10°) / cos(30°) ]·sin(50°) / { 1 - [ 2·sin(20°)·cos(10°) / cos(30°) ]·cos(50°) }
tan(x) = 2·sin(20°)·cos(10°)·sin(50°) / [ cos(30°) - 2·sin(20°)·cos(10°)·cos(50°) ]
tan(x) = sin(50°) / { cos(30°) / [ 2·sin(20°)·cos(10°) ] - cos(50°) }....(XII)
Hokus Pokus Özdeşliklerinden (ispatı ayrıca aşağıda verildi) cos(10°)·cos(30°)·cos(50°)·cos(70°) = 3 / 16
cos(10°)·[ cos(30°) ]^2·cos(50°)·cos(70°) = (3 / 16)·cos(30°)
cos(10°)·(3 / 4)·cos(50°)·cos(70°) = (3 / 16)·cos(30°)
cos(10°)·cos(50°)·cos(70°) = (1 / 4)·cos(30°)
cos(30°) = 4·cos(10°)·cos(50°)·cos(70°)....(XIII)
(XIII) eşitliği (XII)'de kullanılarak sadeleştirmelerle,
tan(x) = sin(50°) / { 4·cos(10°)·cos(50°)·cos(70°) / [ 2·sin(20°)·cos(10°) ] - cos(50°) }
tan(x) = sin(50°) / [ 2·cos(50°) - cos(50°) ]
tan(x) = sin(50°) / cos(50°)
tan(x) = tan(50°)
x = 50°.

Not:
cos(10°)·cos(30°)·cos(50°)·cos(70°) = 3 / 16 Hokus Pokus Özdeşliğinin ispatı:

https://i.ibb.co/xMrxxCM/cos10cos30cos50cos70-esit-3-bolu-16.png
https://www.sarthaks.com/643654/prove-that-cos10-cos30-cos50-cos-70-3-16

Not:
L.H.S: Left Hand Side (eşitliğin sol tarafı)
R.H.S: Right Hand Side (eşitliğin sağ tarafı)