Çözüldü İntegralde Alan ve Hacim Hesabı (2 Soru, YKS 2020'de yok)

(Üniversitelerimizin birinden ödev veya sınav sorularıydı ama seviye olarak lise kapsamı)

y = √x eğrisi ile x + y = 6 doğrusu ve Ox-ekseni tarafından sınırlanan düzlemsel bölgenin alanı kaç birim karedir?

Parabol ve doğrunun kesim noktalarını veren ortak denklem √x = 6 - x ⇒ x^2 - 13x + 36 = 0 ⇒ (x - 4)(x - 9) = 0 ⇒ x = 4 V x = 9
Parabol, doğru ve Ox-ekseni arasındaki alan:
(alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 4), ∫√x dx + (alt sınır x1 = 4, üst sınır x2 = 6), ∫(6 - x) dx =
(alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 4), | [ x^(3 / 2) ] / (3 / 2) | + (alt sınır x1 = 4, üst sınır x2 = 6), |6x - (x^2) / 2| =
(2 / 3)·[ 4^(3 / 2) - 0 ] + { [ 6·6 - (6^2 / 2) ] - [ 6·4 - (4^2 / 2) ] } = (2 / 3)·8 + 2 = 22 / 3 birim^2
Not: Sadece doğrunun altında kalan 2 birim^2 değerindeki alana ait ikinci integralin sonucu oradaki kenarları 2 birim olan ikizkenar dik üçgenin alanına (2·2 / 2 = 2) eşit.

Doğrudan WolframAlpha (WA) Çözümü:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=area between y=√x, x+y=6, and y=0
---
Birinci bölgede y = √(1 - x^2) eğrisi, x = 0 ve y = x doğruları tarafından sınırlı bölgenin Ox-ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cismin hacmini bulunuz.

x^2 + y^2 = 1 çemberiyle birinci açıortay doğrusunun I. bölgedeki kesim noktasının apsisini veren ortak denklem;
x = √(1 - x^2) ⇒ 2(x^2) = 1 ⇒ x = 1 / √2 olup aranan hacim;
(alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 1 / √2), π·∫ [ (1 - x^2) - x^2 ] dx = (alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 1 / √2), π·|x - 2(x^3) / 3| =
π·{ 1 / √2 - (2 / 3)[ (1 / √2)^3 ] } = π·[ 1 / √2 - 1 / (3√2) ] = π·(√2) / 3 birim^3

Not: WA soruyu anlıyor, hacim bölgesinin grafiğini de çiziyor ama nedense sonucu veremiyor.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=volume of the revolved area between y=√(1 - x^2), y=x, and x=0 about x axis for 0<=x<=1/sqrt(2)