Çözüldü İntegralde Cebirsel Değişken Dönüşümü ve Basit Kesirlere Ayırma

∫ 2(t^2) dt / (t^4 + 1) = ?

https://www.facebook.com/photo/?fbid=128377666235875&set=gm.2409219802548882 (Başka bir çözüm)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

∫ [ (1 + 1 / t^2) + (1 - 1 / t^2) ] dt / (t^2 + 1 / t^2) =
∫ (1 + 1 / t^2) dt / (t^2 + 1 / t^2) + ∫ (1 - 1 / t^2) dt / (t^2 + 1 / t^2)....(I) toplamındaki birinci integral;
∫ (1 + 1 / t^2) dt / (t^2 + 1 / t^2) için x = t - 1 / t ⇒ dx = (1 + 1 / t^2) dt ve x^2 + 2 = t^2 + 1 / t^2 değişken dönüşümleriyle,
∫ dx / (x^2 + 2) = (1 / √2)·arctan(x / √2) = (1 / √2)·arctan[ (t - 1 / t) / √2 ] = (1 / √2)·arctan[ (t^2 - 1) / (t·√2) ] + C1....(II)
(I)'deki ikinci integral için y = t + 1 / t ⇒ dy = (1 - 1 / t^2) dt ve y^2 - 2 = (t + 1 / t)^2 değişken dönüşümleriyle,
∫ dy / (y^2 - 2) integralinde basit kesirlere ayırma işlemi yapılarak (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev),
∫ dy / (y^2 - 2) = (1 / √8)·[ ∫ dy / (y - √2) - ∫ dy / (y + √2) ] = (1 / √8)·ln[ (y - √2) / (y + √2) ] =
(1 / √8)·ln[ (t + 1 / t - √2) / (t + 1 / t + √2) ] + C2 = (1 / √8)·ln[ (t^2 - t·√2 + 1) / (t^2 + t·√2 + 1) ] + C2....(III)
(II) ve (III) toplanarak sonuç (1 / √2)·arctan[ (t^2 - 1) / (t·√2) ] + C1 + (1 / √8)·ln[ (t^2 - t·√2 + 1) / (t^2 + t·√2 + 1) ] + C2 =
(1 / √2)·arctan[ (t^2 - 1) / (t·√2) ] + (1 / √8)·ln[ (t^2 - t·√2 + 1) / (t^2 + t·√2 + 1) ] + C.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/integr72.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dt)((1 / √2)·arctan[ (t^2 - 1) / (t·√2) ] + (1 / √8)·ln[ (t^2 - t·√2 + 1) / (t^2 + t·√2 + 1) ])