Çözüldü İntegralde Trigonometrik Dönüşüm ve Rasyonel Kesirlere Ayırma

University of California - Davis'ten çözümlü bir poblemin fen lisesi için test uyarlaması:

y = f(x) = 1 / (4 - x^2) fonksiyonunun y = 0 ve x = ∓1 doğrularıyla sınırlı parçasının alanı kaç birim karedir?

A) (1 / 3)·ln(2)
B) (1 / 2)·ln(3)
C) ln(2 / 3)
D) ln(3 / 2)
E) ln(6)

f(-x) = f(x) olduğundan çift fonksiyon olup [0, 1] aralığındaki integral değerinin 2 katının alınması yeter.
(alt sınır x = 0, üst sınır x = 1), 2·∫ dx / (4 - x^2) integralinde x = 2·sin(θ) [ veya cos(θ) ] dönüşümüyle,
θ1 = 0, θ2 = π / 6, dx = 2·cos(θ)dθ
(alt sınır θ1 = 0, üst sınır θ2 = π / 6), ∫ sec(θ)dθ =
(alt sınır θ1 = 0, üst sınır θ2 = π / 6), | ln[ sec(θ) + tan(θ) ] | =
ln{ ( sec(π / 6) + tan(π / 6) ) / [ sec(0) + tan(0) ] }
ln[ (2 / √3 + 1 / √3) / (1 + 0) ] =
ln(√3) =
(1 / 2)·ln(3).

Sorunun Aslı ve Rasyonel Kesirlere Ayırmayla Çözümü:

https://i.ibb.co/bg0BWGKy/UCDavis.png
https://www.math.ucdavis.edu/~babson/MAT21B-S25/files/21B-S25_M2PS.pdf
(Sayfa 1, Soru 1.c)