Çözüldü İntegralde Trigonometrik ve Cebirsel Değişken Dönüşümleri

Yanlış değişken dönüşümüyle çözüm isteyen bir öğretmene yine sonucu yanlış olan bir öğretmen çözümü. Bu öğretmenlerle öğrencilerin işi çok zor!


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/integr78.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=5881990598484277&set=gm.2615692775234916
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Sonucu Yanlış Çözüm:
https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/bok10.jpg
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10160203220434936&set=p.10160203220434936&type=3
(Not: Sonucun hangi hata nedeniyle yanlış çıktığını görmek de ilgilenenlere ödev)

Çözüm - 1:
x = cos(2t) ⇒ dx = -2sin(2t)dt, x1 = 0 ⇒ t1 = π / 4, x2 = 1 ⇒ t2 = 0 değişken dönüşümü ve
cos(2t) = 1 - 2·[ sin(t) ]^2 = 2·[ cos(t) ]^2 - 1 özdeşliklerine göre integral, basit ara işlemler ve sadeleştirmeler ilgilenen öğrencilere ödev olmak üzere; (alt sınır t1 = 0, üst sınır t2 = π / 4), 4·∫ [ sin(t) ]^2 dt....(I) haline döner ve daha önceki özdeşliklerden;
[ sin(t) ]^2 = [ 1 - cos(2t) ] / 2 ifadesi de (I)'de yerine yazılıp yine ilgilenen öğrencilere ödev olarak çözülürse sonuç;
(π - 2) / 2 veya π / 2 - 1 bulunur.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/integr79.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate sqrt((1-x)/(1+x)) dx from x=0..1

Çözüm - 2
(1 - x) / (1 + x) = u^2 ⇒ x = (1 - u^2) / (1 + u^2) ⇒ dx = -4udu / [ (1 + u^2)^2 ]
x1 = 0 ⇒ u1 = 1 ve x2 = 1 ⇒ u2 = 0 sınır değişimiyle integral;
(alt sınır u1 = 1, üst sınır u2 = 0), ∫ (-4u^2)du / [ (1 + u^2)^2 ] =
(alt sınır u1 = 0, üst sınır u2 = 1), ∫ (4u^2)du / [ (1 + u^2)^2 ] integralindeki integrand rasyonel kesirlere ayrıldığında (bu basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev) integral;
(alt sınır u1 = 0, üst sınır u2 = 1), ∫ 4du / (u^2 + 1) - (alt sınır u1 = 0, üst sınır u2 = 1), ∫ 4du / [ (u^2 + 1)^2 ]
(alt sınır u1 = 0, üst sınır u2 = 1), 4|arctan(u)| - (alt sınır u1 = 0, üst sınır u2 = 1), ∫ 4du / [ (u^2 + 1)^2 ]
π - (alt sınır u1 = 0, üst sınır u2 = 1), ∫ 4du / [ (u^2 + 1)^2 ] ifadesinde u = tan(θ) ve du = [ sec(θ) ]^2 dθ değişken dönüşümüyle
π - [ (alt sınır θ1 = 0, üst sınır θ2 = π / 4), 4·∫ [ cos(θ) ]^2 dθ ] integralinde [ cos(θ) ]^2 = [ 1 + cos(2θ) ] / 2 ile yine derece düşürülmesi yapılıp basit ara işlemler de ilgilenen öğrencilerce yapıldığında sonuç π - (1 + π / 2) = (π - 2) / 2 veya π / 2 - 1 bulunur.