Çözüldü İntegralle Hacim

McMaster University - CA'dan bir problemin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

y = 1 / e^x eğrisiyle x = 1 ve y = 1 doğrularıyla sınırlı bölgenin x = 1 doğrusu etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacminin kaç birim^2 olduğunu bulunuz.

Tabaka Yöntemi (Shell Method) gereğince y1 = f(x) ve y2 = g(x) eğrileriyle x = a ve x = b doğrularının sınırladığı alanın x = d doğrusu etrafında dönmesiyle meydana gelen dönel cismin hacmi V = (alt sınır x = a, üst sınır x = b), 2π·∫ (x - d)(y2 - y1) dx

a = 0, b = 1, d = 1, y2 = e^(-x), y1 = 1 olduğundan V = (alt sınır x = 0, üst sınır x = 1), 2π·∫ (x - 1)(e^(-x) - 1) dx
V = (alt sınır x = 0, üst sınır x = 1), 2π·∫ (x·e^(-x) - x - e^(-x) + 1) dx
Not: Bu yaklaşımda 1 kere kısmi integrasyon gereklidir.
V = (alt sınır x = 0, üst sınır x = 1), 2π·| -x·e^(-x) - e^(-x) - x^2 / 2 + e^(-x) + x|
V = (alt sınır x = 0, üst sınır x = 1), 2π·| -x·e^(-x) - x^2 / 2 + x|
V = 2π·[ (-1·1 / e - 1 / 2 + 1) - (0 - 0 + 0) ]
V = 2π·( 1 / 2 - 1 / e)
V = π·(e - 2) / e Birim^2.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/volume12.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=volume of the solid rotating the region bounded by y=1/e^x, x=1, y=1 around x=1

Sorunun Aslı ve iki kez Kısmi İntegrasyon Gerektiren Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mcmast18.png
https://www.math.mcmaster.ca/~haskell/math1aa_05-06/test1soln.pdf
[ Sayfa 1, Soru (ii) ]

Notlar:
1. Yanıt e değil, f seçeneğidir.
2. Okunması zor olan ifade "cross sectional" yani "ara kesit".

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mcmast19.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate pi(1-log(1/y))^2 from y=1/e..1