Çözüldü İrrasyonel Sayılarda Sadeleştirme - Cebirsel Özdeşlikler (Kısa yol bulamadım)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/irrasy10.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=230617031438800&set=gm.1836366263167575&type=3&theater&ifg=1
(Kısa çözüm Hüseyin Demir @ Facebook tarafından sonra yapılmış. Sadece VII eşitliği yeterliydi ve onu başlangıçta gördüğüm halde doğrudan çözüme geçememişim.)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Epey uğraştığım halde bulamadığım kısa yolu göstermek isteyen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.
[ a^(1 / 3) + b^(1 / 3) ][ a^(2 / 3) - (ab)^(1 / 3) + b^(2 / 3) ] = a + b özdeşliğine göre;
a = 5√2 - 7 ve b = 1 alınıp ifade eşleniği ile yani [ a^(2 / 3) - (ab)^(1 / 3) + b^(2 / 3) ] ile çarpılıp bölünerek sadeleştirilirse (ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
(5√2 - 6) / [ (99 - 70√2)^(1 / 3) - (5√2 - 7)^(1 / 3) + 1 ]....(I) haline gelir ve bu kesrin paydasındaki;
birinci terim için 99 - 70√2 = (a - b√2)^3 = a^3 - 3(a^2)b√2 + 6a(b^2) - 2(b^3)√2 = a^3 + 6a(b^2) - [ 3(a^2)b + 2(b^3) ]√2 eşitliğinden Belirsiz Katsayılar Kuralı ile;
a^3 + 6a(b^2) = 99....(II)
3(a^2)b + 2(b^3) = 70...(III)
(II) ve (III) denklemlerinin çözümüne girilmeden a = 3 ve b = 2 (veya tersi) denenirse a = 3 ve b = 2 tamsayılarının denklemleri sağladığı için;
99 - 70√2 = (3 - 2√2)^3....(IV) olduğu görülür.
Yine (I) kesrinin paydasındaki ikinci terim için 5√2 - 7 = (c√2 - d)^3 = 2(√2)(c^3) - 6d(c^2) + 3c(√2)(d^2) - d^3 = [ 2(c^3) + 3c(d^2) ]√2 - [ 6d(c^2) + d^3 ] eşitliğinden Belirsiz Katsayılar Kuralı ile;
2(c^3) + 3c(d^2) = 5....(V)
6d(c^2) + d^3 = 7....(VI)
(V) ve (VI) denklemlerinin tamsayılarda ancak c = d = 1 için sağlanabileceği hemen görüldüğünden;
5√2 - 7 = (√2 - 1)^3....(VII) yazılır.
(IV) ve (VII) eşitlikleri (I)'e götürülerek;
(5√2 - 6) / [ (3 - 2√2) - (√2 - 1) + 1 ] =
(5√2 - 6) / (5 - 3√2) =
(5√2 - 6)(5 + 3√2) / (25 - 18) =
(7√2) / 7 =
√2

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sqrt(50)-sqrt(49))^(1/3)+1