Çözüldü Kapalı Fonksiyon (Implicit Function) Türevi

xy + y^2 = 2 ise (d^2 / dx^2)y nin A(1, 1) için değeri nedir?
A) -3 / 2
B) -1 / 2
C) 4 / 27
D) 1 / 9
E) 2 / 27

1·y + x·y' + 2y·y' = 0 ⇒ y'(x, y) = - y / (x + 2y) ⇒ y'(1, 1) = -1 / 3....(I)

y''(x, y) = - [ y'(x + 2y) - y(1 + 2y') ] / (x + 2y)^2

y''(1, 1) = - { (-1 / 3)(1 + 2) - 1·[ 1 - (2 / 3) ] } / (1 + 2·1)^2

y''(1, 1) = - [ -1 - (1 / 3) ] / 9 = (4 / 3) / 9 = 4 / 27

WolframAlpha Kontrolu:
Birinci Türev: http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy + y^2 = 2, (d / dx)(dy / dx) =?
İkinci Türev: y''(x, y) = - [ y'(x + 2y) - y(1 + 2y') ] / [ (x + 2y)^2 ]
y''(x, y) = - (xy' + 2yy' - y - 2yy') / [ (x + 2y)^2 ]
y''(x, y) = - (xy' - y) / [ (x + 2y)^2 ]
y''(x, y) = (y - xy') / [ (x + 2y)^2 ]
y''(x, y) = { y - x[ -y / (x + 2y) ] } / [ (x + 2y)^2 ]
y''(x, y) = (2xy + 2y^2) / [ (x + 2y)^3 ]
y''(1, 1) = (2 + 2) / [ (1 + 2)^3 ]
y''(1, 1) = 4 / 27