Çözüldü Kapalı Fonksiyon Türevi (Implicit Differentiation) (2 Soru)

Mühendislik öğrencilerine sorduğum iki soru:

1.)
ifadesinin türevinin değerini x=1 ve y=-2 için hesaplayınız.

2.)
ifadesinin 2.türevini bulunuz.

Sayın Cem Hocam, şöyle yapmaya çalıştım:

Soru - 1:
4x^3 = [ (1 - dy / dx)(x + y) - (1 + dy / dx)(x - y) ] / (x + y)^2
x = 1 ve y = -2 için
4 = [ (1 - dy / dx)(1 - 2) - (1 + dy / dx)(1 + 2) ] / (1 - 2)^2
4 = -1 + dy / dx - 3 - 3dy / dx
dy / dx = 8 / (-2) = -4
---
Soru - 2:
1·y + x·(dy / dx) + 2y(dy / dx) = 0
(x + 2y)(dy / dx) = -y....(1)
dy / dx = y ' = -y / (x + 2y)....(2)
(1) eşitliğinden tekrar türev alınırsa;
(1 + 2y')·y' + (x + 2y)·y'' = - y'
(x + 2y)·y'' = - 2y'(1 + y')
y '' = -2y'(1 + y') / (x + 2y)....(3)
(2) değeri, (3) eşitliğinde yerine yazılırsa;
y '' = [ 2y / (x + 2y) ]·[ 1 - y / (x + 2y) ] / (x + 2y)
y '' = [ 2y / (x + 2y) ]·[ (x + y) / (x + 2y) ] / (x + 2y)
y '' = [ 2y(x + y) / (x + 2y)^2 ] / (x + 2y)....(3)
Problemdeki fonksiyondan x + y = 4 / y yazılıp (3) ifadesinde pay'da kullanılırsa;
y'' = 2y(4 / y) / (x + 2y)^3
y '' = 8 / (x + 2y)^3