Çözüldü Kare - Yamuk Alanı - Trigonometri - Noktanın ve Doğrunun Analitiği

https://i.ibb.co/Yt14NBh/Kare-Yamuk.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2604763503093311&set=gm.1717671258370410&type=3&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Facebook adresindeki resimde elle yazılı 36 sayısı eğer cevap olarak verildiyse yanlış çünkü;

Çözüm - 1:
|DK| = |D'K| = x
|CF| = |C'F| = y
|BF| = 2·6 - y = 12 - y
[C'D'] ∩ [AD] = {L}
FBC' dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile; y^2 = 6^2 + (12 - y)^2 ⇒ y = 15 / 2 cm
∡BC'F = arccos(4 / 5)
∡AC'D' = 180° - 90° - arccos(4 / 5) = 90° - arccos(4 / 5)
C'AL dik üçgeninde tan[ 90° - arccos(4 / 5) ] = |AL| / 6 ⇒ |AL| = 6·cot[ arccos(4 / 5) ] = 6·(4 / 3) = 8 cm....(I)
KD'L dik üçgeninde sin[ arccos(4 / 5) ] = x / |KL| ⇒ |KL| = x / (3 / 5) = 5x / 3....(II)
|AL| + |KL| + |DK| = 12 cm olduğundan (I) ve (II) kullanılarak 8 + 5x / 3 + x = 12 ⇒ x = 3 / 2 cm
Alan(CDKF Yamuğu) = [ ( |CF| + |DK| ) / 2 ]·|CD| = [ (15 / 2 + 3 / 2) / 2 ]·12 = (9 / 2)·12 = 9·6 = 54 cm^2
---
Çözüm - 2:
A noktası Orijin, [AB] ve [AD] kenarları da sırasıyla x ve y eksenleri üzerinde olacak şekilde şekil kartezyen düzleme konularak;
Çözüm - 1'den bulunan ∡BC'F = arccos(4 / 5) kullanılarak [C'L] doğru parçasının üzerinde olduğu doğrunun denklemi: y - 0 = { tan[ 90° + arccos(4 / 5) ] }(x - 6) ve düzenlenerek (bu ve benzeri tüm ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
y = -4x / 3 + 8 ve bu denklemde x = 0 için L noktasının ordinatı 8 olup L(0, 8) olur.
[C'F] doğru parçasının üzerinde olduğu doğrunun denklemi y - 0 = { tan[ arccos(4 / 5) ] }(x - 6) ve düzenlenirse y = 3x / 4 - 9 / 2 ve x = 12 için F noktasının ordinatı
y = 3·12 / 4 - 9 / 2 = 9 / 2 ve F(12, 9 / 2)....(III) olur.
F noktasından sola doğru ve x eksenine çizilen paralel y eksenini (Yani [AD] kenarını) M noktasında kessin.
∡KFM = θ
F noktasındaki bütünlerlik şartıyla 90° - arccos(4 / 5) + 2·[ arccos(4 / 5) + θ ] = 180° ⇒ θ = 45° - (1 / 2)·[ arccos(4 / 5) ]....(IV)
(III) ve (IV) kullanılarak [FK] kenarının üzerinde olduğu doğrunun denklemi;
y - (9 / 2) = tan(180° - (45° - (1 / 2)·(arccos(4 / 5))))·(x - 12)
y = -tan(45° - (1 / 2)·(arccos(4 / 5)))·(x - 12) + 9 / 2....(V)
tan{ (1 / 2)·[ arccos(4 / 5) ] } = 1 / 3....(VI) olduğunun bulunması da β = arccos(4 / 5) alınarak
tanβ = [ 2·tan(β / 2) ] / { 1 - [ tan(β / 2) ]^2 } özdeşliği kullanılmak suretiyle kolayca bulunabilir.
Bu işlemler de yine ilgilenen öğrencilere aynen ödev.
(VI) değeri (V)'e götürülerek;
y = - [ (1 - 1 / 3) / (1 + 1 / 3) ]·(x - 12) + 9 / 2
y = -x / 2 + 21 / 2 olduğundan K noktasının koordinatları K(0, 21 / 2) ve |DK| = 12 - 21 / 2 = 3 / 2 cm bulunur.
Sonuç olarak;
Alan(CDKF Yamuğu) = [ ( |CF| + |DK| ) / 2 ]·|CD| = [ (15 / 2 + 3 / 2) / 2 ]·12 = (9 / 2)·12 = 9·6 = 54 cm^2