Çözüldü Karmaşık Sayılar (13 Soru)

Sayın Cem Hocamız'ın çözümleri imageshack.us'den silindiği için;
Soru - 1
|z - 3| = 3/2 seklindeki karmasik sayinin argumentinin en kucuk degeri? (0)

|z - 3| = 3 / 2
z - 3 = -3 / 2 ⇒ z = 3 - 3 / 2....(I)
z - 3 = ⇒ z = 3 + 3 / 2....(II)
(I) ve (II) ifadeleri, başlangıçları (3, 0) noktası olmak üzere x ekseni (reel eksen) üzerinde sola ve sağa doğru 3 / 2 birim uzunluğundaki kompleks sayıları göstermekte olup argümanları sırasıyla 0 derece ve 180 derecedir.
Veya (x - 3)^2 + y^2 = (3 / 2)^2 çemberinin (3, 0) merkezinden x ekseni üzerinde pozitif yönde modülü 3 / 2 olan karmaşık sayının argümanı 0 derecedir.

Ek bilgi: https://www2.clarku.edu/~djoyce/complex/plane.html
---
Soru - 2
|z + 1 - 2i|< 3 ise |z - 2 - 6i| ifadesinin en buyuk degeri? (8)

|z - 2 - 6i| = |z + 1 - 3 - 2i - 4i| = |z + 1 - 2i - 3 - 4i| = | (z + 1 - 2i) + (-3 - 4i) |....(I)
(I) ifadesi karmaşık sayılardaki Üçgen Eşitsizliği gereğince | (z + 1 - 2i) + (-3 - 4i) | ≤ |z + 1 - 2i| + |-3 - 4i| şeklinde yazılıp,
|z - 2 - 6i| ≤ 3 + 5 = 8 bulunur.
---
Soru - 3
|z1 + 5 - 6i| = 3 ve |z2 - 3| = 1 ise |z1 - z2|'nin alabilecegi en kucuk deger nedir? (6)

Aranan uzunluk (x + 5)^2 + (y - 6)^2 = 3^2 ve (x - 3)^2 + y^2 = 1^2 çemberlerinin koordinatları (-5, 6) ve (3, 0) olan merkezleri arasındaki uzaklıktan yarıçapların çıkartılmasıyla bulunacak sayıdır.
Merkezler arası uzaklık = [ (-5 - 3)^2 + (6 - 0)^2 ]^0,5 = 10 birim
|z1 - z2| = 10 - (3 + 1) = 6

Not: 10 - (3 + 1) ≤ |z1 - z2| ≤ 10 + (3 + 1) yani 6 ≤ |z1 - z2| ≤ 14 olmaktadır.
---
Soru - 4
z1 = -1, z2 = 3, z3 = 4i noktaları veriliyor. z2'nin [z1z2] doğru parçasına uzakliığı nedir?(16√17 / 17)

Sorudaki hata: z2'nin |z1z2| doğrusuna değil |z1z3| doğru parçasına olan uzaklığı 16√17 / 17 birimdir çünkü;
|z1z3| : x / (-1) + y / 4 = 1 ⇒ 4x - y + 4 = 0 doğrusudur.
(3, 0) noktasının 4x - y + 4 = 0 doğrusuna olan uzaklığı: |3·4 + 0·(-1) + 4| / [ 4^2 + (-1)^2 ]^0,5 = 16 / √17 = (16√17) / 17 birim bulunur.
---
Soru - 5
z = 1 - cosθ + i·(sinθ-1) ve modulu √3 ise θ = ? (7π / 4)

z = 1 - cosθ - i·(1 - sinθ)....(I) şeklinde yazılırsa (1 - cosθ)^2 + (1 - sinθ)^2 = (√3)^2 olup sadeleştirilerek düzenlenirse tanθ = -1 ⇒ θ = -π / 4 ve (I) karmaşık sayısı (IV). bölgede olduğundan (pozitif yöndeki) esas argümanı 2π - π / 4 = 7π / 4 bulunur.
---
Soru - 6
Arg(z - 1 - i) = π / 4 ve arg(z - 1 - 3i) = π / 8 ise |z| = ? (2 + 3√2)

z = x + y·i olmak üzere;
Arg[ (x - 1) + (y - 1)·i ] = π / 4 ⇒ arctan[ (y - 1) / (x - 1) ] = π / 4 ⇒ (y - 1) / (x - 1) = 1 ⇒ y = x....(I)
Arg[ (x - 1) + (y - 3)·i ] = π / 8 ⇒ arctan[ (y - 3) / (x - 1) ] = π / 8 ⇒ (y - 1) / (x - 1) = -1 + √2....(II)
(I) değeri (II) eşitliğinde yerine yazılırsa (x - 3) / (x - 1) = -1 + √2 ⇒ x = (4 - √2) / (2 - √2) = 3 + √2 = y
|z| = (x^2 + y^2)^0,5 ve (I) eşitliği ile |z| = x√2 = (3 + √2)√2 = 2 + 3√2
---
Soru - 7
Arg(z + 2) = π / 6 ise |z - 6| ifadesinin en kucuk degeri? (4)

Çözüm - 1:
Aranan değer (-2, 0) noktasından geçen ve x ekseninin pozitif yönüyle 30 derece açı yapan doğruya (6, 0) noktasının uzaklığıdır.
y - 0 = (tan30)[ x - (-2) ] ⇒ x - (√3)y + 2 = 0 doğrusuna (6, 0) noktasının uzaklığı |6·1 + 0·(-√3) + 2| / [ 1^2 + (-√3)^2 ]^0,5 = 8 / 2 = 4

Çözüm - 2:
(-2, 0) noktasından geçen ve x ekseninin pozitif yönüyle 30 derece açı yapan doğruyla (6, 0) noktasından geçen ve x ekseninin pozitif yönüyle 180 - (90 - 30) = 120 derece açı yapan doğrunun kesim noktası ile (-2, 0) ve (6, 0) noktalarının oluşturduğu dik üçgende
cos60 = |z - 6| / [ |-2| + 6 ] ⇒ |z - 6| = 8cos60 = 4
---
Soru - 8
| (2√7 - 2i)^(1 / 5) | = ?

Mutlak değer içindeki karmaşık sayı | [ 2^(1 / 5) ]·(√7 - i)^(1 / 5) | = [ 2^(1 / 5) ]·|(√7 - i)^(1 / 5)| şeklinde yazılırsa;
[ 2^(1 / 5) ]·{ [ (√7)^2 + (-1)^2 ]^0,5 }^(1 / 5) =
[ 2^(1 / 5) ]·[ 2^(3 / 2) ]^(1 / 5) =
[ 2^(1 / 5) ]·[ 2^(3 / 10) ] =
2^(1 / 5 + 3 / 10) =
2^(5 / 10) =
√2

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=|(2sqrt(7)-2i)^(1/5)|=?
---
Soru - 9
z = cos20 + i·sin70 ve z1 = sin50 + i·sin50 ise |z - z1| = ? [ (√2)·sin10 ]

|z - z1| = |cos20 + i·sin70 - sin50 - i·sin50| =
|cos20 - cos40 + i·(sin70 - sin50) =
| -2{ sin[ (20 + 40) / 2 ] }·{ sin[ (20 - 40) / 2 ] } + i·2{ sin[ (70 - 50) / 2 ] }·{ cos[ (70 + 50) / 2 ] } | =
(√2)·| -(sin30)·sin(-10) + i·(sin10)·cos60 | =
(√2)·| (sin10) / 2 + i·(sin10) / 2 | =
(√2)·[ (sin10)^2 ]^0,5 =
(√2)·sin10
---
Soru - 10
z = x + i·y ve Im[ (z + 2) / (z - 3i) ] = 0 koşuluna uyan z karmaşık sayılarının denklemi (3x - 2y + 6 = 0)

Im[ (x + i·y + 2) / (x + i·y -3) ] = 0
Im{ [ (x + 2) + i·y ]·[ x - i·(y - 3) ] / [ x^2 + (y - 3)^2 ] } = 0
Im{ [ x(x + 2) - i·(x + 2)(y - 3) + i·x·y + y(y - 3) ] / [ x^2 + (y - 3)^2 ] } = 0
Im{ [ x(x + 2) + y(y - 3) ] / [ x^2 + (y - 3)^2 ] + i·[ x·y - (x + 2)(y - 3) ] / [ x^2 + (y - 3)^2 ] } = 0
[ x·y - (x + 2)(y - 3) ] / [ x^2 + (y - 3)^2 ] = 0
x·y - (x + 2)(y - 3) = 0 ⇒ 3x - 2y + 6 = 0
---
Soru - 11
z = 2sinθ + (2√3)·i ise 0< θ <90 icin |z|^2 = 14 ise θ=? (45°)

|z| = { 4[ (sinθ)^2 ] + 12 }^0,5
|z|^2 = 4[ (sinθ)^2 ] + 12 = 14 ⇒ (sinθ)^2 = 1 / 2 ⇒ sinθ = 1 / √2 ⇒ θ = 45°
---
Soru - 12
|z| ≤ 4 ve Re(z) ≥ 1 ise duzlemdeki bolgenin belirttigi alan? (4π / 3 - √3)

Aranan alan (S) x^2 + y^2 = 4 merkezil çemberiyle x = 1 ve x = 2 doğruları arasındaki bölgenin alanıdır.
y = (4 - x^2)^0,5
S = 2 ∫ [ (4 - x^2)^0,5 ] dx, (x = 1'den x = 2'ye)....(I)
x = 2sinθ ⇒ dx = 2cosθdθ
x1 = 1 = 2sin(θ1) ⇒ θ1 = arcsin(1 / 2) = π / 6
x2 = 2 = 2sin(θ2) ⇒ θ2 = arcsin(1) = π / 2
Yukarıdaki değişken dönüştürmeleriyle (I) integrali;
S = 2 ∫ (2cosθ)·(2cosθdθ), (θ = π / 6'dan θ = π / 2'ye)
S = 8 ∫ [ 1 / 2 + (cos2θ) / 2 ]dθ, (θ = π / 6'dan θ = π / 2'ye)
S = 4|θ + (sin2θ) / 2|, (θ = π / 6'dan θ = π / 2'ye)
S = 4|π / 2 + [ sin(π) ] / 2 - π / 6 - (1 / 2)sin(π / 3)|
S = 4[ π / 2 - π / 6 - (√3) / 4| ]
S = 4[ π / 3 - (√3) / 4 ]
S = 4π / 3 - √3
---
Arg(z + 3) = 40 ve arg(z - 3) = 130 ise |z|=?

(-a, 0) noktasından geçen ve x ekseninin pozitif yönüyle θ açısını yapan doğru (z + a karmaşık sayısı) ile (a, 0) noktasından geçen ve x ekseninin pozitif yönüyle θ + 90 açısını yapan doğru (z - a karmaşık sayısı) için |z| = a olur. Ayrıca, bu iki doğrunun kesim noktasını orijine birleştiren doğru z karmaşık sayısı olup modülü de 2a uzunluğundaki hipotenüsün kenarortayıdır ve uzunluğu da 2a / 2 = a dır.

Probleme göre |z| = 3 bulunur.

İspat:
z = x + y·i için;
Arg(z + a) = θ ⇒ arctan[ y / (x + a) ] = θ ⇒ y / (x + a) = tanθ....(I)
Arg(z - a) = θ + 90 ⇒ arctan[ y / (x - a) ] = θ + 90 ⇒ y / (x - a) = -cotθ....(II)
(I) ve (II) eşitlikleri taraf tarafa bölünüp düzenlenirse x = a·cos2θ....(III)
(III) değeri (I) veya (II) eşitliklerinden birinde yerine yazılıp düzenlenirse y = a·sin2θ....(IV)
|z| = (x^2 + y^2)^0,5 ifadesinden (III) ve (IV) değerleri yerlerine yazılıp düzenlenirse |z| = a bulunur.
---
Soruları yollayan kişi Türk olduğu halde Türkçe karakterleri kullanmaktaki umursamazlığı nedeniyle siteden atılmıştır!