Çözüldü Karmaşık Sayılar (8 Soru)

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve kuro tarafından 15 Ekim 2009 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. kuro

    kuro Yeni Üye

    Mesajlar:
    218
    Beğenileri:
    0
    1) z = 4.cis10 saysı orijin etrafında pozitif yönde 20 derece döndurulmesiyle elde edilen karmaşık sayı nedir ? cevap : 4cis30

    2) z= 16.cis64 karmaşık sayısının köklerinden biri ne olabilir ?

    3) z= a+bi sayısının 4 üncü dereceden köklerinden birisi 2.cis110 ise diğeri ne olabilir?

    4) z = cis(7pi / 6) ise -z nin esas argümenti kaç radyandır? [cevap: pi / 6]

    5) | (z + i) / (z - i) | ≤ 2 eşitsizliğini sağlayan noktaları karmaşık düzlemde gösteriniz .

    6) z^4 - (1+2i)z³ + z+m+(n+2)i = 0 denkleminin bir kökü 1+2i ise m ile n sayılarının çarpımı kaçtır?

    7) Bir kökü 1+2i ve bir diğer kökü 2 olan üçüncü dereceden denklem nedir?

    8) (kök3 + i)^100 sayısını a+bi şeklinde yazınız.
    cevap: (2^99)·(-1+i·kök3)
    Son düzenleyen: Moderatör: 23 Ekim 2025
    kuro, 15 Ekim 2009
    #1

    2. Benzer Konular: Karmaşık Sayılar
    Forum Başlık Tarih
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Polinomlarda Çarpım - Karmaşık Sayılar Cuma 18:22
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Eşlenik - Belirsiz Katsayılar Kuralı 23 Nisan 2026
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılar - Trigonometri 9 Mart 2026
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılar - Doğrunun Analitiği - Konide Hacim 7 Mart 2026
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayıların Elektrik Mühendisliğindeki Fazör Formu 16 Şubat 2026

  2. murat_16

    murat_16 Yeni Üye

    Mesajlar:
    355
    Beğenileri:
    124
    1 )
    -z=-cis7pi/6
    =cis(pi+7pi/6)
    =cis13pi/6
    =cispi/6
    murat_16, 25 Ekim 2009
    #2
    Honore bunu beğendi.
  3. coşkun

    coşkun Yeni Üye

    Mesajlar:
    148
    Beğenileri:
    22
    (kök3+i)^100 bu sayıyı hesaplamak için önce kutupsal biçime çevirmeliyiz.(cis li şekleyani)
    bunu için iki şeye ihtiyacımız var
    birincisi kök3+i nin boyu ( yani mutlağı ya da modülü)
    ikincisi ise Argümenti (açısı).
    z=a+ib şeklindeki bir karmaşık sayının boyu |z|=kök(a^2+b^2) dir.
    |kök3+i|=kök(3+1)=2 çıkar.
    Argümenti ise 30[sup]o[/sup]dir.
    demek ki sayı 2cis30 dur.

    şimdi bu sayının 100. kuvvetini alalım.
    de movre diye bi muhterem demiş ki sen bu sayının kuvvetini alırken 2nin 100.kuvvetini al, cis30 un 100. kuvvetini alırken ise sadece 30 u 100 ile çarpsan yeter.
    yani 2^100.cis3000
    3000 i 360 a bölüp (kalan) esas argümentini bulalım.
    o da 120 çıktı.
    demek ki 2^100cis120 aradığımız sayı.
    burada cis120 demek (cos120+isin120 ) dir.
    cos120=-1/2 sin120=kök3/2 dir.yerine yazalım.
    2^100(-1/2+ikök3/2) parantez içini 1/2 parantezine alabiliriz.
    1/2 ile 2^100 ün bir tane 2 si sadeleşir. geriye 99 tane kalır.
    2^99(-1+ikök3) son hali olur.

    a+ib hali (-2^99+ikök3.2^99) dur.
    coşkun, 14 Kasım 2009
    #3
    Honore bunu beğendi.
  4. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.081
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Soru - 1
    4cis(10 + 20) = 4cis30
    ---
    Soru - 2
    64 derece = 16π / 45 radyan
    z0 = (√16){ cos[ (16π / 45 + 0·2π) / 2 ] + i·sin[ (16π / 45 + 0·2π) / 2 ] } = 4cis(8π / 45)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=square root (16*cis(64 degree)) = 4cis(8pi/45)

    z1 = (√16){ cos[ (16π / 45 + 1·2π) / 2 ] + i·sin[ (16π / 45 + 1·2π) / 2 ] } = 4[ cos(π + 8π / 45) + i·sin(π + 8π / 45) ] = -4cis(8π / 45)

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(-4cis(8pi/45))^2= (16*cis(64 degree))
    ---
    Soru - 3
    z = (2cis110)^4 = 16cis440 = 16cis(360 + 80) = 16cis80
    z(k) = 2cis[ (80 + k·360) / 4 ] = 2cis(20 + k·90)
    z(0) = 2cis20 ( ≈ 1,8794 + 0,6840·i )
    z(1) = 2cis110 ( ≈ -0,6840 + 1.8794·i )
    z(2) = 2cis200 ( ≈ -1,8794 - 0,6840·i )
    z(3) = 2cis290 ( ≈ 0,6840 - 1.8794·i )
    veya
    110 derece = 11π / 18 radyan
    [ 2cis(11π / 18) ]^4 = 16cis(22π / 9) = 16cis(2π + 4π / 9) = 16cis(4π / 9) = 16cis80

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourth roots of 16cis(4pi/9)
    ---
    Soru - 4
    Denklemde z = 1 + 2i yazılırsa (1 + 2i)^4 - (1 + 2i)^4 + (1 + 2i) + m + (n + 2)i = 0 ve sadeleştirilirse;

    (1 + m) + (4 + n)i = 0 ⇒ m = -1 ve n = -4 olup m·n = 4
    ---
    Soru - 5
    [ x - (1 + 2i) ][ x - (1 - 2i) ](x - 2) =
    [ x^2 - (1 - 2i)x - (1 + 2i)x + (1 - 4i^2) ](x - 2) =
    [x^2 - (1 - 2i + 1 + 2i)x + 5](x - 2) =
    (x^2 - 2x + 5)(x - 2) =
    x^3 - 4x^2 + 9x - 10
    ---
    Soru - 6
    Yapamadım ama üzerinde çalışıyorum. Çözemezsem sayın Şamil Üstadım'a soracağım.
    http://mathforum.org/dr.math/ sitesinden Dr. Rick (many thanks to him for his solution and explanations) öncelikle benim sandığım gibi çözüm kümesinin 2 birim yarıçaplı merkezil çemberin üzeri ve içindeki bölge olmadığını ispatlayarak (I have skipped his very detailed academic proof to show that neither WolframAlpha's graph, nor mine is correct.) aşağıdaki çözümü ve açıklamaları gönderdi:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/K9BCp80/Dr-Rick-Solution.png

    Öğrenci üyeler için çözümü biraz daha basitleştirmek üzere analitik geometriden yararlanılarak şöyle gösterilebilir:
    Aranan karmaşık sayıların uç noktalarının kartezyen düzlemdeki koordinatları (x, y) olmak üzere;
    { x^2 + [ y - (-1) ]^2 }^0,5 ≤ 2[ x^2 + (y - 1)^2 ]^0,5 eşitsizlik ifadesi yazılıp düzenlenirse;
    x^2 + y^2 - 10y / 3 + 3 ≥ 0 ve sol taraftaki y değişkenine bağlı terimler tam kare haline getirilirek;
    x^2 + y^2 - 10y / 3 + (5 / 3)^2 - (5 / 3)^2 + 1 ≥ 0
    x^2 + y^2 - 10y / 3 + (5 / 3)^2 ≥ 25 / 9 - 1
    x^2 + (y - 5 / 3)^2 ≥ 16 / 9 çemberinin üzerindeki ve dışındaki tüm noktaların, aranan çözüm kümesi olduğu görülür.

    Grafik:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/mt3LY3B/karma-k-e-itsizlik.png

    Ekli Dosyalar:

    Son düzenleme: 4 Mayıs 2017
    Honore, 2 Mayıs 2017
    #4

Sayfayı Paylaş