Çözüldü Karmaşık Sayılar (9 Soru)

1. Soru:
Cevap veya sorudaki yazım yanlış diye düşünüyorum çünkü;
Bu haliyle, yani 9 + 40i / 41 olarak parantez kullanılmadan yazılan ifadede modül [ 9^2 + (40 / 41)^2 ]^0,5 olur ki bunun sonucu
√137761 / 41 dir.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(9^2+(40/41)^2)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=modulus(9+40i/41)=

(9 + 40i) / 41 olsa;
|(9 + 40i) / 41| = (1 / 41)|9 + 40| = (1 / 41)·(81 + 1600)^0,5 = (1 / 41)·41 = 1 çıkıyor.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=modulus((9 + 40i) / 41)
---
2. Soru:
Bu soruda da bir yazım hatası olmalı çünkü |z| + 2·z·z^(-1) = 36 ⇒ |z| + 2 = 36 ⇒ |z| = 34 ⇒ z = ∓34 çıkıyor.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(z)+2z*(z^(-1))=36, z=?
---
3. Soru:
z = x + yi ise soruda verilen bağıntıya göre |x + yi + 3 - i| = |x + yi| ve düzenlenirse;
|(x + 3) + (y - 1)i| = (x^2 + y^2)^0,5
[ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 ]^0,5 = (x^2 + y^2)^0,5
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2
x^2 + 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 sadeleştirilirse;
6x - 2y + 10 = 0 veya 2 ile kısaltılıp cevaptaki gibi düzenlenirse y - 3x - 5 = 0 yahut tam gösterilişiyle 3x - y + 5 = 0 doğrusudur.
Not: Kartezyen düzlemde doğrunun genel denklemi ax + by + c = 0 veya y = mx + n şeklindedir.
---
4. Soru:
Bu soruda da hata var diye düşünüyorum çünkü bir karmaşık sayı olmak üzere z = a - bi alınıp z·z = (a - bi)^2 = a^2 - 2abi + b^2 = 52 eşitliğindeki imajiner kısım (-2·a·bi) yok edilemez çünkü bu takdirde a veya b katsayılarından birinin 0 olması gerekir ki bu durumda da cevaptaki 4 - 6i sayısı oluşamaz.

Soru "|z|·|z| = 52 eşitliğini sağlayan karmaşık sayı aşağıdakilerden hangisidir?" diye seçeneklerle verilse ve şıklardan sadece biri uygun olsa ve o da 4 - 6i diye verilse ancak o zaman 4 - 6i cevap olarak işaretlenebilir çünkü
|z| = (4^2 + 6^2)^0,5 ⇒ |z|·|z| = [ (4^2 + 6^2)^0,5 ]^2 = 4^2 + 6^2 = 52 eşitliği ancak bu şekilde mümkün olabilir.
---
5. Soru:
ax^2 + bx + c = 0 ikinci derece denklemlerin çözümüne ait yarım formüldeki;
-(b / 2) değerine bakılırsa -(-2 / 2) = 1 (gerçel kısım) ve diskriminanta bakılırsa ∓(1^2 - 10)^0,5 = ∓√-9 = ∓3i (sanal kısım) olmak üzere seçeneklerden hangisi 1 + 3i veya 1 - 3i ise o doğru cevap olarak işaretlenir.
---
6. Soru:
z = a + bi kabul edilip sorudaki eşitliğe göre a + bi + (a^2 + b^2)^0,5 = 2 + i
[ a + (a^2 + b^2)^0,5 ] + bi = 2 + i
a + (a^2 + b^2)^0,5 = 2....(I)
bi = i ⇒ b = 1....(II)
(II) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılırsa a + (a^2 + 1)^0,5 = 2
(a^2 + 1)^0,5 = 2 - a
a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2
4a = 3
a = 3 / 4
z = 3 / 4 + i
Not: (3 / 4) şeklinde parantez kullanmak burada şart değil çünkü aritmetik işlem sırasına göre bölme, toplama veya çıkarmadan öncedir.
---
7. Soru:
i^(2n + 7) · i^(3n + 8) · i^(4n + 9) = 1
i^(2n + 3n + 4n) · i^(7 + 8 + 9) = 1
i^9n · i^24 = 1
i^9n · (i^2)^12 = 1
i^9n · (-1)^12 = 1
i^9n = 1
n bir pozitif çift sayı olmak üzere her değeri alabileceğinden şıklardaki tek çift sayı 8 ise o seçilir.
---
8. Soru:
Bu soruda veya cevapta bir hata olduğunu düşünüyorum çünkü;
z = x + yi alınırsa |x + yi + 5 + 12i| = 12 ve |(x + 5) + (y + 12)i| = 12
(x + 5)^2 + (y + 12)^2 = 12^2
[x - (-5)]^2 + [y - (-12)]^2 = 12^2 olur ki bu ifade merkezi M(-5, -12), yarıçapı 12 birim ve x eksenine teğet ve kartezyen düzlemde III. bölgedeki çemberin denklemidir ve bu durumda orijine en yakın noktası da A olup O, A, M noktaları doğrusal olmak üzere
|MO| = (5^2 + 12^2)^0,5 - 12 = √169 - 12 = 13 - 12 = 1 birim buluyorum.

Grafiği:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/grafik.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot (x+5)^2+(y+12)^2=12^2, y=12x/5,y=0,x=0,x=-5,y=-12
---
9. Soru:
{ (1 / 2) - [ (√3) / 2 ]i }^10 sayısı [ cos(-π / 3) + i·sin(-π / 3) ]^10 = cos(π / 3) - i·sin(π / 3) ]^10 yazılıp De Moivre Teoremi gereğince;
cos(10π / 3) - i·sin(10π / 3) =
cos[ 3π + (π / 3) ] - i·sin[ 3π + (π / 3) ] =
-cos(π / 3) - i·[ -sin(π / 3) ] =
-cos(π / 3) + i·sin(π / 3) =
-(1 / 2) + i·[ (√3) / 2 ]

WolframAlpha Kontrolu:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/WA_1.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1/2-(sqrt(3)/2)i)^10=
(Decimal Approximation başlığı altındaki sonuç)