Çözüldü Karmaşık Sayılarda Euler Formülü ve Argüman - Üstel Sayılar - Trigonometri - Programlama

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 2 Haziran 2026 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.194
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Bir kitaptaki sonucu yanlış verilmiş problemin fen lisesi için hesap makinesi kullanımının da serbest olduğu klasik sınav uyarlaması:

    i^2 = -1 olmak üzere (2 + 5·i)^(1 / 2)·(-4 - 9·i)^(2 / 3) / (8·i - 3)^(4 / 5) sayısının;
    a) modülünü aynı dereceli üstel sayı altındaki üstel sayıların çarpımı olarak yazınız,
    b) argümanını mutlak değeri en küçük derece cinsinden bulunuz,
    c) kartezyen formunu virgülden sonra iki basamak duyarlıkta gösteriniz,
    d) bildiğiniz bir programlama dilinde daha fazla bir duyarlıkta yazdırılan kodlamasını veriniz.


    (2 + 5·i)^(1 / 2) = [ (2^2 + 5^2)^(1 / 4) ]·e^{ i·[ (1 / 2)·arctan(5 / 2) ] } = [ 29^(1 / 4) ]·e^{ i·[ (1 / 2)·arctan(5 / 2) ] }....(I)
    (-4 - 9·i)^(2 / 3) = { [ (-4)^2 + (-9)^2 ]^(1 / 3) }·e^{ i·(2 / 3)·[ arctan(9 / 4) - π ] }
    (-4 - 9·i)^(2 / 3) = [ 97^(1 / 3) ]·e^{ i·[ (2 / 3)·arctan(9 / 4) - 2π / 3 ] }....(II)
    (8·i - 3)^(4 / 5) = { [ 8^2 + (-3)^2 ]^(2 / 5) }·e^{ i·(4 / 5)·[ π - arctan(8 / 3) ] }
    (8·i - 3)^(4 / 5) = [ 73^(2 / 5) ]·e^{ i·[ 4π / 5 - (4 / 5)·arctan(8 / 3) ] }....(III)
    (I) ve (II) çarpılıp (III) ile bölündüğünde Modül: { [ 29^(1 / 4) ]·[ 97^(1 / 3) ] / [ 73^(2 / 5) ] } ve EKOK(3, 4, 5) = 60 olduğundan,

    a) { (29^15)·(97^20)·[ 73^(-24) ] }^(1 / 60)....(IV)

    b) Argümanı;
    (1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) - 2π / 3 - [ 4π / 5 - (4 / 5)·arctan(8 / 3) ] =
    (1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) - 2π / 3 - 4π / 5 + (4 / 5)·arctan(8 / 3) =
    -{ 22π / 15 - [ (1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) + (4 / 5)·arctan(8 / 3) ] } =
    -{ (π + 7π / 15) - [ (1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) + (4 / 5)·arctan(8 / 3) ] }....(V) ifadesindeki ters tanjant değerlerinin toplamı,
    θ = (1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) + (4 / 5)·arctan(8 / 3) ≈ 133,87° alındığında (IV) numaralı argüman,
    WolframAlpha Kontrolu:
    https://www.wolframalpha.com/input?i=convert ((2/3)*arctan(9/4)+(1/2)*arctan(5/2)+(4/5)*arctan(8/3)) radians to degree

    -[ (π + 7π / 15) - θ ] = -[ π + (7π / 15 - θ) ] olup bu açının kosinüs ve sinüs değerleri;
    cos{ -[ π + (7π / 15 - θ) ] } = cos[ π + (7π / 15 - θ) ] = -cos(7π / 15 - θ) = -cos(84° - 133,87°) = -cos(49,87°)....(VI)
    sin{ -[ π + (7π / 15 - θ) ] } = -sin[ π + (7π / 15 - θ) ] = sin(7π / 15 - θ) = sin(84° - 133,87°) = -sin(49,87°)....(VII)

    c) Sonuçtaki kompleks sayı: -{ (29^15)·(97^20)·[ 73^(-24) ] }^(1 / 60)·[ cos(49,87°) + i·sin(49,87°) ] ≈ -1,24 - i·1,46.
    WolframAlpha Kontrolu:
    https://www.wolframalpha.com/input?i=(2+5*i)^(1 / 2)*(-4-9i)^(2/3) / (-3+8i)^(4/5)

    d) Fortran Çözümü:
    [​IMG]
    https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/komple29.png

    Sorunun Aslı:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/Tq2r6wCs/kompleks.png
    https://1kitap1.com/wp-content/uploads/Ahmet Karadeniz Yüksek Matematik Problem Çözümleri Çağlayan Yayınları (1kitap1.com).pdf
    (Son soru)
     
    : Fortran

  2. Benzer Konular: Karmaşık Sayılarda
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Eşlenik - Belirsiz Katsayılar Kuralı 23 Nisan 2026
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Karekök ve Esas Argüman - İkinci Derece Denklem 8 Ocak 2026
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Karmaşık Sayılarda Argüman İşlemleri 19 Kasım 2025
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda Euler'in Üstel Notasyonu - Üstel Sayılar 17 Ağustos 2025
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayılarda De Moivre ve Euler Teoremleri - Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı 20 Mart 2025

Sayfayı Paylaş