Çözüldü Kinematik - Parametrik Fonksiyon - Vektörler Arası Açı - Türev

Bir kitaptaki sorudan fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

Düzlemdeki hareketi saniye cinsinden zamana (t) bağlı (4cos(6t), 6sin(6t)) koordinatlarına göre değişen bir cismin;
a) Yörünge denklemini ve eğrinin tipini yazınız,
b) t = π / 12'nci saniyede konum ve hız vektörleri arasındaki açıyı bulunuz,
c) İvmesinin hep sabit bir noktaya yönelik olduğunu ispatlayınız.

a) cos(6t) = x / 4 ve sin(6t) = y / 6 eşitliklerinin kareleri alınarak taraf tarafa toplanırsa yörünge denklemi x^2 / 16 + y^2 / 36 = 1 olan bir elips.

b) i ve j düzlemsel birim vektörler olmak üzere cismin Konum Vektörü: r(t) = 4cos(6t)·i + 6sin(6t)·j
Hız, yol (konum) fonksiyonunun türevi olduğundan Hız Vektörü: v(t) = -24sin(6t)·i + 36cos(6t)·j
Konum ve Hız vektörleri arasındaki açı θ ise cos(θ) = r(t)·v(t) / [ |r(t)|·|v(t)| ]
cos(θ) = [ -48·2sin(6t)cos(6t) + 108·2sin(6t)cos(6t) ] / [ |r(t)|·|v(t)| ]
cos(θ) = 60·sin(12t) / [ |r(t)|·|v(t)| ]
t = π / 12 için cos(θ) = 60·sin(12·π / 12) / [ |r(π / 12)|·|v(π / 12)| ] = 60·0 / [ |r(π / 12)|·|v(π / 12)| ] = 0
θ = π / 2 radyan yani 90°

c) İvme, hızın türevi olduğundan a(t) = -144·cos(6t)·i - 216·sin(6t)·j ve konum vektörü de r(t) = 4cos(6t)·i + 6sin(6t)·j olup
-144 / 4 = -216 / 6 = -36 nedeniyle ivme vektörünün,
Yatay bileşeni: a_x = -36x
Düşey bileşeni: a_y = -36y
a(t) = -36·[ r(t) ] eşitliğine göre ivme vektörü, konum vektörünün negatif değeriyle orantılı yani konum vektörü ile daima ters yöndeki bir doğrultuyla orijine yönelik.

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i.ibb.co/21T4RW8P/Kinematik.png
500 Selected Problems in Physics
https://z-library.sk/book/5R0YZEQEj...00-selected-problems-for-iit-jee-arihant.html
(pdf dosyada sayfa 10, Soru 1, Çözüm pdf dosyada sayfa 140)